回転放物面の面積要素

回転放物面2z=x^2+y^2上の領域Dの表面積Aは∫∫_DdSと表すことができる。このときの面積要素dSをr,θを用いて表すとき、ヤコビアンを考えてrdrdθになりますが、r(r,θ)ベクトル=rcosθi+rsinθj+1/2r^2kと置いたとき、dS=|dr（ベクトル）/dr×dr（ベクトル）dθ|drdθを考えるとdS=rdrdθになりません。なぜでしょうか。。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/25 10:37

>表面積Aは∫∫_DdSと表すことができる。

>このときの面積要素dSをr,θを用いて表すとき、
>ヤコビアンを考えてrdrdθになります。
これは間違いです。
参考URL:
ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/zyuusekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/zyuusekibun/taiseki-kyokumenseki.html

dS=√{1+(z_r)^2+(1/r^2)(z_θ)^2} |J|drdθ
です。
z=(x^2+y^2)/2=(1/2)r^2,
z_r=r,z_θ=0
ヤコビアン|J|=r
なので
dS=√(1+r^2) rdrdθ
です。

この回答へのお礼

分かりました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/25 11:03