大学院入試の過去問(電磁気学)

Question

以下のURLに載せた問題の(3)が分かりません。
http://www.picamatic.com/view/9366447_DSC_0337/

図1の画像↓
http://www.picamatic.com/view/9366453_DSC_0338/

とりあえず、(1) (2)で自分で出したこの答えは合ってますでしょうか？
(1)求める電流Jは
J= -(μ0a^2cosθ/R)(dH/dt)

(2)求める力のモーメントNは
N= -(μ0^2a^4cosθ/2R)H(dH/dt)

ここで(3)も途中まで考えました。
剛体の運動方程式より
I(dω/dt) = N
ω=2v/a より
(dv/dt ) = {(μ0)^2a^5(H0)^2cosθ/4IR}
今θは定数なので、両辺を時間tで積分すると、
v = {(μ0)^2a^5(H0)^2cosθ/4IR}t + C (C:積分定数)

私は、このvこそが求める初速度だと思うのですが、積分定数とtがでてくるので答えにはふさわしくないと思うのです。
一体どうすればよいのでしょうか？

eatern27 · Accepted Answer

εを微小量としたら、 (a) t<-εではH=H_0 (b) -εεではH=0 という風に磁場が変化した時に、(c)の時にω(t)がどうなるかという事を(3)では聞かれている訳ですよね。 ※正確には、このω(t)がε→+0の極限でどうなるかという事を考える。で、このω(t)を求めるためには、運動方程式を解けばよい訳ですが、そのためには初角速度を求める必要があります(問題でも求めよと言っていますね)。この初角速度はω(t=ε)の事に他なりません。 ω(t=ε)を求めるために何をしているのかというと、(b)の時間領域で運動方程式を解いているのです。(補足の内容を拝見する限り、ひょっとしたらこの点を誤解されているのでは？) 運動方程式はdω/dt = α(θ)dH^2/dt となっています。(右辺の係数をまとめてα(θ)としています) この運動方程式の両辺をt=-εから+εまで積分すると、左辺＝∫dt (dω/dt) = ω(+ε)-ω(-ε) 右辺＝∫dt α(θ)dH^2/dt ＝α(θ)∫dt dH^2/dt = α(θ) (H(+ε)^2 -H(-ε)^2) となります。なお、右辺の計算ではθが時間変化しないと近似してα(θ)を積分の外に出しています(εが微小なのでt=-εから+εの間にθが変化していないという近似です) ω(-ε),H(+ε),H(-ε)が既知であれば、めでたくω(+ε)が求まります。という訳で、補足の内容に答えていきますと >(1)(2)ではHをdH/dtという割合で変化させるという一般的な話をしていて、(3)ではH0から急に0にするという具体的な話をしているだけだと思ったので、はい、そうです。 ※ただ、(4)を考える時にはθの変化に由来するトルクを別に考える必要があるはず。 >(2)のHをH0にして(3)を考えれば良いと思ったのですが、なぜだめなのでしょうか？ダメとは言いませんが、H(t)=H_0が成り立つのは(a)の時間領域です。わざわざこの時間領域に言及する必要性を感じません。また、上で運動方程式をt=-εから+εまで積分したところで、例えば運動方程式の不定積分を考えて、H=H(-ε)でω=ω(-ε)となるように積分定数を求めても同一の結果になります。 #6でHにH_0を代入しても正しく求まらないと書いたのは、#2さんの式がH=0でω=0となるように積分定数を決めたものだからです。実際にはH=H(-ε)=H_0でω=0となるように積分定数を決めないといけません。

eatern27 · Answer

>(dv/dt ) = {(μ0)^2a^5(H0)^2cosθ/4IR}
dH/dtはいくらだとしたんですか？

※初速度って磁場が切れた直後の角速度という事でいいのではないかなぁ。

endlessriver · Answer

最後のvの式で積分定数は初期条件で決めればよいのですが、当然tはまずいです。
モーメントNに力の方向(r×F)によるsinθが抜けてます（θ=0のときN=0とならず）。

なので
N=-2(μ0^2a^4cosθsinθ/2R)H(dH/dt)=-(μ0^2)(a^4)(sin2θ/R)(dH^2/dt)
となります。

すると運動方程式は Idω/dt=-(μ0^2)(a^4)(sin2θ/R)(dH^2/dt)
積分して　ω=-(μ0^2)(a^4)(sin2θ/R)H^2

積分定数は　ω=0,  H=0 で０とした。あとはω=2v/a より速度がでます。

endlessriver · Answer

#2です。ご指摘のとおり計算の誤りでした。

eatern27 · Answer

院試が念頭にあるのであれば、

>dH/dt = -H0 にしました。

左辺：磁界/時間の次元
右辺：磁界の次元

という時点で何かおかしいと気づいた方が良いでしょう。

eatern27 · Answer

>何かおかしいな。何か変だなとおもいながら解いてはいたのですが・・・自分がまだまだ未熟者だということを痛感いたしました。
そう痛感してほしかったというよりは、次元解析をした方が計算ミスとか勘違いは減らせるという事を言いたかったのですよね。

>No.2さんが仰る通りにvを導いたのですが、H0というのが使われていませんが別に気にする必要はないのでしょうか？
#2さんに聞くのが筋のようにも思いますが、H0が使われていないと感じるのであれば、#2さんの最後の式の中のHは何だとお考えなのでしょうか？
いくらか誤解を招き得る形で書かれている気もしていますが、どう解釈してもHの中にH0が登場すると思うのですが。

参考程度にこの式は
Δω=-(μ0^2)(a^4)(sin2θ/R)ΔH^2
とでも書いた方が物理的な意味は分かりやすいはずです。
Δωは磁場が変化する前後でのωの変化量
ΔH^2は磁場が変化する前後でのH^2の変化量((ΔH)^2の意味ではありません)。
※間違ったトルクの式をこの式でも使っているのであれば、適切に修正してください。私は検算していないので。少なくとも慣性モーメントがどこかに入りそうな気がします。

eatern27 · Answer

>あ、(3)ではHではなくて、これはH0ですね。

#2さんの式を磁場が変化した直後の角速度と磁場の関係についての式だと考えるのであれば、HにH0を代入しても(3)での初角速度は正しく求まりません。
(3)の条件では磁場が変化する直前にω=0,H=0を満たしていないからです。

#5に書いたように角速度・磁場の変化量に関する式だと解釈すれば正しいと言えるのですが、(3)の条件ではΔH^2≠H0^2です。

大学院入試の過去問(電磁気学)

>(dv/dt ) = {(μ0)^2a^5(H0)^2cosθ/4IR}

この回答への補足

最後のvの式で積分定数は初期条件で決めればよいのですが、当然tはまずいです。

この回答への補足

#2です。

院試が念頭にあるのであれば、

この回答への補足

>何かおかしいな。

>あ、(3)ではHではなくて、これはH0ですね。

この回答への補足

εを微小量としたら、

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