万有引力の公式が導けない

万有引力の公式F=GMm/ｒ^2が導けません。

質量Mの太陽の周囲を半径ｒの円軌道で好転する質量mの惑星に働く向心力を、
円運動の周期やケプラーの第3法則を使って、f=（4mπ＾2）/kr＾2にするところまでは
できました（k=T^2/r^3）。作用反作用の法則により、太陽にも同じ力がかかっている。

ここから先に進めません。
いろんな本によって話の進め方が異なりますが、どれを読んでも、最終的に
F=GMm/ｒ^2の形にしようとして、話が進んでいるように見えます。
例えば、G=4π＾2/kMと置いて式変形させていたりします。これって結論ありきで、
それに合うように式を作っているようで、非常に不自然に感じます。

f=（4mπ＾2）/kr＾2から太陽の質量がどうやって入ってきたのか、最終的に、
どういう式変形の下、F=GMm/ｒ^2に行きつくのでしょうか。

No.6 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/08/05 08:17

☆そうすると、2式の前提があって、やはり太陽と地球の質量に比例するという結論が先に立ち、そこに会うように比例定数Gが決められた、ということですね。

◇ニュートンの運動の第三法則、つまり、作用反作用の法則からの帰結ということになりますかね。

そして、
　「地球と月のように、太陽と地球も共通重心の周りを公転している」
ということになります。
太陽も惑星からの引力を受けるので、加速度が発生する。なので、太陽も動かなればおかしい！！
数学的にはちょっと面倒くさいんだけれど、共通重心を中心にして太陽も惑星もまわっていることも証明できます。


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万有引力の法則との関係

アイザック・ニュートンは、自分が発見した運動の法則と、このケプラーの法則などを元に万有引力の法則を導き出した。一方、ケプラーの法則は万有引力の法則を、惑星のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和が負である（すなわち、惑星が無限遠まで飛んでいかない）という条件の下、太陽の質量に比べ惑星の質量が十分小さい（すなわち、太陽は静止していると見なせ、惑星間の相互作用は無視できる）という近似を行って解くことによって導くことができる。ケプラーが太陽系の惑星の運動について述べたことは、ある質点とその周囲を回るそれに比べて十分に質量の小さな質点という、2つの任意の質点間に対しても同様に成り立つことが分かる。

したがって、ケプラーの法則は、太陽と惑星の間だけでなく、惑星と衛星（あるいは人工衛星）などの間でも成立する。

なお、第2、第3法則は二つの質点の質量が同程度でも成立する。このことから、第3法則と万有引力の法則を利用して連星系の主星と伴星、太陽と惑星、二重惑星、惑星と衛星などの質量の和も求めることもできる。軌道長半径を a、公転周期をP、主星の質量をM 、伴星の質量をm、万有引力定数をGとすれば、これらの関係は次のようになる。

　　a^3/P^2 = G(M+m)/4π^2

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97% …
─────────

　　a^3/P^2 = G(M+m)/4π^2 = GM(1+m/M)/4π^2
になるので、
Mがmに対して十分に大きいときは、m/M ≒ ０だから、この項は無視ができて、
　　a^3/P^2 = GM/4π^2
と考えてよいことになります。
《連星》とかはm/Mが０に近くないので、mを無視しちゃダメだよ。
そして、周期と軌道長半径を観測できれば、連星の質量の和(M+m)が求められます。

Wikipediaの《連星》
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E6%98%9F
におもしろいアニメーションが出ているから、見てみるといいと思います。

この回答へのお礼

早速wikiを見に行ったら、なぜか私のブラウザでは動いてくれませんでした。残念です。
それはともかく、丁寧に説明くださり、ありがとうございました。ゆっくり読ませていただこうと思います。

お礼日時：2013/08/05 22:19

No.5 回答者： nananotanu 回答日時： 2013/08/04 22:04

>太陽と地球も共通重心の周りを公転しているということで

OKです。

りんごが地球に引かれて落ちるのも、月が地球の周りを回る(互いに回っている)のも、太陽と地球が互いに回るのも、1つの同じ現象だ、と気づいたところがニュートンの偉いところだったんです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞1つの同じ現象だ、と気づいたところがニュートンの偉いところだったんです。
私はそこが物理の面白いところだなぁと思っています。

お礼日時：2013/08/04 22:20

No.4 回答者： nananotanu 回答日時： 2013/08/04 22:02

>やっぱり最初から2物体の質量に比例するという前提のもと

いや、そもそも、それがニュートンの発見、ですから。
式から導き出したんじゃなく、自分が発見した(気づいた)万有引力の法則を『式で表した』だけです。

この回答へのお礼

>『式で表した』だけです。
この言葉が妙に腑に落ちました。

今まで公式というものは、式変形して求められるものだと思っていました。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/04 22:19

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2013/08/04 05:15

いいね～、質問者のあなた。

まずは、
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/53/5342ba …
を読んでください。
ここに導出の過程がすべて書かれています。

f = K□/r^2
比例係数Kは、太陽と惑星の場合で異なるので
───□にMが入るかmが入るかによってKの値が異なるということ───
　f ∝ m/r^2
　f ∝ M/r^2
と書いた方がわかりやすいのかもしれない。
記号「∝」は比例するの意味です。
であるならば、
　f∝mM/r^2
でなければならない。
この比例係数をGとすれば、
　f = GmM/r^2
となるわけです。

この回答への補足

ありがとうございます。
参考のサイトを拝見しました。ちょっと思ったのですが、太陽は公転しているのでしょうか？
地球と月のように、太陽と地球も共通重心の周りを公転しているということで、
f ∝ M/r^2
という式が出てくると考えてよろしいでしょうか。

そうすると、2式の前提があって、やはり太陽と地球の質量に比例するという結論が先に立ち、そこに会うように比例定数Gが決められた、ということですね。

補足日時：2013/08/04 21:45

No.2 回答者： nananotanu 回答日時： 2013/08/01 19:19

>C = GM

単にひとまとめにして『１文字』の比例定数にしてもいいのです(これを仮にAとおきましょう)が、考察から各惑星に対し、共通に太陽の質量Mが入ることは明らかですから、それを別に分けて、

　Aは太陽の質量Mと、他のあらゆる場合に共通に現れる引力由来ともいうべきGの２成分からなる

としたのです。そうすれば、Gだけを使えば、太陽とどれかの惑星の時のみならず、すべての場合に使える『本質的』比例定数が導き出せます。

で、太陽と惑星の関係から、Gがどういう成分になるかを導き出すと・・・・・

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ということは、やっぱり最初から2物体の質量に比例するという前提のもと、Gという定数が作られたということになりますね。

お礼日時：2013/08/04 21:38

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2013/07/27 07:53

向心力：F = C・m/r^2 (比例常数C = 4π＾2/k)

これから言える事：
惑星が太陽に引かれる力は惑星の質量mに比例し、(距離)^-2に比例する(または(距離)^2に逆比例する)
作用・反作用の法則から太陽が惑星を引く力と太陽が惑星から引かれる力とは同じ筈である。
つまり太陽も惑星も同じ条件で引かれ合っているわけなので、引力が惑星の質量mに比例する事から同様に太陽の質量Mにも比例するはずである。
なので上で書いた比例常数CをC = GM (Gは常数)とおいて向心力の式に改めて代入して
F = G・(mM/r^2) G:万有引力常数
・・・を導いた(・・・と思う)

この回答への補足

＃１さん、ご回答ありがとうございます。

＞なので上で書いた比例常数CをC = GM (Gは常数)とおいて
ここで、「C = GM（ 4π＾2/k =　GM ということになりますね。）」が出てくる意味が分からないのです。

補足日時：2013/07/28 19:37