図形と方程式:円 /ベクトル内積

1）円 x^2+y^2+2x+4y-4=0と直線7x－y＋2＝0の二つの交点と点（－1,2）を通る円の方程式を求めよ。


0≦θ<2πのとき、
二つのベクトルa→＝（1,－1）,b→＝（cosθ,sinθ）の内積a→・b→はθ＝□で最大値□をとる。

解き方を教えて下さい(^◇^;)

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/29 00:33

1) 円と直線の 2つの交点を求め, それと点(-1, 2) を通る円の方程式を作る.

2) 2つのベクトルの内積を計算し, その最大値を求める.

解き方そのものが問題文に書いてあるようなもの.

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/29 05:04

#2です。

0≦θ<2πのとき、
二つのベクトルa→＝（1,－1）,b→＝（cosθ,sinθ）の内積a→・b→はθ＝□で最大値□をとる。

P=内積a→・b→=1*cosθ+(-1)*sinθ=cosθ-sinθ=(√2)[cosθ*(1/√2)-sinθ*(1/√2)]

sinα＝1/√2、cosα=1/√2

を満たすαは

α＝π/4

よって

P=(√2)[cosθ*cos(π/4)-sinθ*sin(π/4)]=(√2)cos(θ+π/4)

0≦θ<2πのとき

θ＝7π/4でθ+π/4=2π、cos(θ+π/4)＝1となり、Pは最大値√2をとる。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/29 04:45

1)円 x^2+y^2+2x+4y-4=0と直線7x－y＋2＝0の交点を通る円の方程式は次式で与えられる。

x^2+y^2+2x+4y-4+k(7x－y＋2)＝0　　　(1)

これは交点(x,y)においては

x^2+y^2+2x+4y-4=0であり、かつ7x－y＋2＝0であって、(1)は円の方程式になっているからである。

（詳しくは教科書、参考書参照）

(1)が点（－1,2）を通るためにはx=-1,y=2とした時、(1)が成り立つ必要がある。すなわち

(-1)^2+2^2+2*(-1)+4*2-4+k(7*(-1)－2＋2)＝0　　

これより

k=1

この値を(1)に代入して

x^2+y^2+9x+3y-2=0