ガウス写像の問題でわからない所があります。

Question

楕円放物面のガウス写像は単位球面のどの範囲を覆いますか？という問題で解答・解説が書かれていますが、途中計算や解答の根拠がわからないので、途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

なお解答には、半球面を覆う。解説には、南北どちらかの半球になるかは、パラメーターの取り方で決まります。とのみ書かれています。

楕円放物面のパラメーターは
x(u,v)=
au
bv
u^2+v^2

xu(u,v)=
a
0
2u

xv(u,v)=
0
b
2v

また単位法ベクトルとガウス写像の
n(u,v)=
1/∥xu(u,v)×xv(u,v)∥・xu(u,v)×xv(u,v)
という公式から楕円放物面の単位法ベクトルを求めると思うのですが、その計算過程がわかりません。
また-1<(sinhu/coshu)<1の知識も使うと思います。ご回答宜しくお願いします。

stomachman · Accepted Answer

ANo.1へのコメントについてです。

> 数学的に計算で

ANo.1に書いた単位ベクトルhがz軸の方向ベクトルであって、楕円放物面の軸がz軸と一致するように円筒座標系(r,θ,z) (2π＞θ≧0, r≧0)を決めます。すると、
(a) 楕円放物面はz = f(r,θ)という形に書けて、fは連続関数であり、あらゆる(r,θ)に対してzが一意的に決まる。（だから、ガウス球面の少なくとも半分（「赤道(ガウス球面の接平面がhと直交する部分)」を含めて）がハゲている。）
(b) r=0のとき、法線ベクトルnはz軸と平行で、n・h = -1である。（「極」にも毛がある。）
(c) (∂/∂r)f, (∂/∂θ)fは連続関数である。（毛がある部分は稠密に毛が生えている。）
(d) どのθについても、r>0なら(∂/∂r)f＞0, ((∂/∂r)^2)f>0であって、つまりrが大きくなれば (∂/∂r)fは幾らでも大きくなる。(「赤道」に幾らでも近い毛がある。）
　以上が分かれば答が出ます。さて、楕円放物面がどういうものなのか分かってさえいれば、これら(a)(b)(c)(d)を知るのに計算は一切不要であり、こんなもん瞬殺です。

> それが間違いな理由やそれの解説の意味もわかりません

これも、楕円放物面が一体どういうものなのかお分かりでないからでしょう。楕円放物面の図をイロイロ描いてみて、(a)～(d)を確認なさると良いと思います。まずは、z軸と垂直な断面の形状が円である場合についてお考えになると易しいでしょう。

なお、選択肢(3)は文言が曖昧であり判断しかねる。選択肢(4)は「z軸」の定義が書いてありませんから何も意味しない（が、おそらく、この回答で言うz軸とは丁度逆向きのものを指しているようです）。

stomachman · Answer

ガウス写像ってのは、滑らかな曲面に至るところ「外向き」に短い毛を生やす話です。毛はその場所での接平面に垂直で、だから場所によって毛の方向は違う。で、全ての毛について、方向を変えずに平行移動して単位球面上に移植するという作業をすると、単位球面上のどこにハゲが残るか。（もちろん、移植した毛は球面に垂直に生えてなくちゃいけません。）

楕円放物面の場合なら、こういう話：
　楕円放物面にも軸がありますね。曲面と1回だけ(接するのではなしに)交わる直線です。この軸に平行で、放物面が開いている方向を向いた単位ベクトルをhとします。すると、楕円放物面には、ベクトルhとの内積が負になるようなあらゆる方向について、その方向を向いた毛がある。それが非負になる方向の毛は1本もない。
　なので、毛を単位球面上に移植すれば、丁度半球を埋め尽くし、残りの半球がハゲになる。境目の大円もハゲです。
　残る問題はベクトルhの方向を知る事だけ。

ガウス写像の問題でわからない所があります。

ANo.1へのコメントについてです。

この回答への補足

ガウス写像ってのは、滑らかな曲面に至るところ「外向き」に短い毛を生やす話です。

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