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(参考書の記述)
回路に抵抗がないとき、時刻tにコイルにかかる電圧がv=V0sinωtであるとする。このとき、微小時間⊿t後の電圧をv+⊿v、電流をi+⊿iとする。

電流の変化により、コイルには自己誘導起電力vLが生じる。電流iの向きを正として、vL=-L⊿i/⊿t。
キルヒホッフの法則より、v+⊿v+vL=(i+⊿i)×0=0であり、⊿tが微小な時、⊿v=0であるから、vL=-Ldi/dtであり、di/dt=V0/Lsinωtであり、この式を満足するiの関数はi=ーV0/Lωcosωt。
(疑問)
(1)キルヒホッフの法則より、v+⊿v+vL=(i+⊿i)×0=0であり
>右辺の(i+⊿i)×0はどういう意味でしょうか?私は⊿t後にはコイルの自己誘導により、電流が流れないと考えたのですが。
(2)、⊿tが微小な時、⊿v=0
>微小時間だから電圧も変化しないと単純に考えてよろしいのでしょうか?
それとも何か別の理由がありますか?
(3)di/dt=V0/Lsinωtであり、この式を満足するiの関数はi=di/dt=V0/Lcosωt。
>di/dt=V0/Lsinωtを積分したらi=V0/Lcosωt+C(積分定数)が出てきて、t=0のとき、i=0であるから、C=-V0/Lとしたら、食い違いました、どうして私の考え方は間違えなのでしょうか?

A 回答 (7件)

回路の抵抗が完全に0なら


#実際は全くありえませんが

>i=-(V0/Lω)cosωt+C

が正しいです。Cは初期条件で
決まります。

t=0のとき、i=0

という初期条件も明確に問題の中で明示されているなら
答は誤りということになります。
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>i = A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}


>で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は
>i = A{Lcosωt + Rsinωt)}
>R≒0 とすると i ≒ V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ (VO/ωL)cosωt

すいません符号が違う(^^;

i = -A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}

で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は

i = -A{Lcosωt + Rsinωt)}

R≒0 とすると i ≒ -V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ -(VO/ωL)cosωt

この回答への補足

何度もごめんなさい。
「回路に抵抗がないとき」という仮定があるのですが、「微小な抵抗 R が存在すると」としているのはどういうことなのでしょうか?

補足日時:2014/10/25 00:10
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>これを両辺iで積分すると、i=-(V0/Lω)cosωt+C (C = V0/(Lω)) となると思うのですが



微小な抵抗 R が存在すると、微分方程式は

V0sinωt = L(di/dt) + Ri

これの解き方は大学で習いますが、答えは A = V0・ω/(R^2 + L^2ω^2) とすると

i = A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}

で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は

i = A{Lcosωt + Rsinωt)}

R≒0 とすると i ≒ V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ (VO/ωL)cosωt

というのが教科書に載っている答えではないかと思います。
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>どうして、i=-(V0/Lω)cosωtになるのでしょうか?



微分方程式というのは過渡解と定常解というものがあって、
定常解では時間とともに消えて行ってしまうものは無視します。

この問題では、実際にはコイルや電源に若干抵抗があるので、初期の
V0/(Lω) は急速に減衰してしまうのです。
抵抗まで含んだ微分方程式を解いてみればその様子がよくわかります。

この回答への補足

何度もすみません。微分方程式についてよくわかっていません。

di/dt=V0/Lsinωtの微分方程式を解くと、i=ーV0/Lωcosωtということなのですが、
これを両辺iで積分すると、i=-(V0/Lω)cosωt+C (C = V0/(Lω)) となると思うのですが、そうではなく、i=-(V0/Lω)cosωtであるということなのですが、どう考えて解いたのでしょうか?

補足日時:2014/10/24 13:46
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訂正。

ωが抜けちゃいました。

i=-(V0/Lω)cosωt+C (C = V0/(Lω)) が正しい。

sinωt の不定積分は -(1/ω)cosωt

この回答への補足

私の計算ミスで、確かに、t=0のとき、i=0とすると、i=-(V0/Lω)cosωt+C (積分定数はC = V0/(Lω)) となるのですが、
参考書にはi=-(V0/Lω)cosωtとあります。(つまり、積分定数は0)
しかし、こうすると、t=0のとき、i=-(V0/Lω)と、i=0には当然なりません。
どうして、i=-(V0/Lω)cosωtになるのでしょうか?

補足日時:2014/10/23 20:00
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(1) 抵抗が 0 ということ。


(2) Δt, Δv、Δi を全て限りなく 0に近づけることを考えるので
この場合は 0になると考えて差し支えありません。vLの中は分母分子共に0に近づくので
微分になります。
(3) t=0 で i=0 なら。

i=-V0/Lcosωt+C (C = V0/L) が正しい。

sinωt の不定積分は -cosωt だよ。
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(1)意味不明、回路を一周して出発点に戻りますから、「0」


(2)⊿tと⊿vは同次の微小量ですから、⊿t≒0なら、⊿v≒0
(3)間違い。
t=0の時iはiでi=0ではありません。

この回答への補足

(2)について同次の微小量というのはぢういうことでしょうか?
(3)について、t=0のとき、電流が流れないから、i=0としたのですが、iはiというのはどういう意味でしょうか?

補足日時:2014/10/23 14:18
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Q交流とコイル 高校物理IIです。おしえて・・・・・

下図のような回路があります。{{{{はコイル、@は交流電源をあらわしています。ここでコイルの抵抗は無視します。電源電圧はvsinωtでコイルには誘導電圧
-Ldi/dtがかかります。
*以下、電流を求めます。

キルヒホッフ第二法則よりvsinωt-Ldi/dt=0となる
よってvsinωt=Ldi/dt
よってvsinωtdt=Ldi
よって∫vsinωtdt=∫Ldi
よって-v/ωcosωt=LI+c
ゆえに電流I=-v/ωLcosωt+cとなりますよね?
ここで質問なのですが、教科書によると積分定数cは0になりI=-v/ωLcosωtとなるようです。これはなぜですか?どうかお願いします。

  _____{{{{{_____
1 1
1 1
1_____@___1

Aベストアンサー

高校生では初期条件という言葉はでないのでした^^;
すみません。

初期条件というのは、名前の通り初めに与えられる条件・・・というように考えて結構です。

例えば、積分の問題で、

Y=5X+C (Cは積分定数)

とあったとして、
「X=0の時にY=0である」
という条件が与えられたなら、それが初期条件というものです。この条件から、積分定数は0であると求められますよね?

高校ではあまり見かけ無かった気がしますが、大学で習う物理学では初期条件というものが与えられる事が多く、積分定数も0でない事がよくあります。まだ先の話でしょうから、「へぇ~」とう程度に聞き流してくださって結構です。

物理の勉強、頑張って下さい。物理をやる上では数学の力も大切になりますよ^^


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