1次元の波動方程式の一般解から、伝搬速度は求められる。
ところが3次元波動方程式には、私の知る限り、2つの特殊解
u=f(lx+my+nz-vt)+g(lx+my+nz+vt) (l^2+m^2+n^2=1) および
u={ f(r-vt)+g(r+vt) }/r ( r=√(x^2+y^2+z^2) )
が求められるだけである。これらから、伝送速度はvと言えるのだが、
一般解が求められていないのに、本当に伝送速度v以外の解は
ないと言えるのでしょうか?
あるいは、なにか波動方程式の分析によって、速度の評価が
されているのでしょうか? 教えてください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
一般に波動方程式の解
u=f(k↑・x↑-ωt)+g(k↑・x↑+ωt)
(k↑は波数ベクトル、x↑=(x,y,z), ω:角周波数)
において
k↑・x↑±ωt=constant (1)
は等位相面を表し(つまり波の山なら山、谷なら谷)
(1)をtで偏微分して
k↑・(∂x↑/∂t)±ω=0
によって位相速度vが定義されます。
|k↑|・|∂x↑/∂t|=ω
|k↑|=k, |∂x↑/∂t|=v
kv=ω
これより
v=ω/k
質問者の式
u=f(lx+my+nz-vt)+g(lx+my+nz+vt) (l^2+m^2+n^2=1)
はk=1にとっているので直接vが出ています。
この回答への補足
ありがとうございます。
質問の内容は、特殊解の伝搬速度がvであることはわかるが、
これだけで、波動方程式の伝搬速度をvといってよいのか?
一般解が提示されていないのに、特殊解だけで伝搬速度を
決めつけてよいのか?
という意味です。
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