物理の微分方程式についてです

振り子の振動の問題を解いているのですが

微分方程式
(d^2θ/dt^2)=-gθ/L

この式から角振動数ωを求めるにはどのようにすればよいでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/12/16 18:08

d^2θ/dt^2=-gθ/L　　　　(1)

p^2=g/Lとおくと(1)は

d^2θ/dt^2＋p^2θ=0 (2)

これは定数係数2階線形微分方程式。これを満たす解は微分方程式論的には

特性方程式

t^2+p^2=0

t=±ip(iは虚数単位）

基本解はe^(ipt),e^(-ipt)

(2)の一般解は

θ=ae^(ipt)+be^(-ipt) (3)

基本解はe^(ipt)=cos(pt)+isin(pt),e^(-ipt)=cos(pt)-isin(pt)

であるので、これを(3)に用いて係数a,bの代わりにc,dを用いて

θ=ccos(pt)+dsin(pt) (4)

このようにsin,cosで書いたとき

pを角周波数という。

つまり

ω=p=√(g/L)

周波数(振動数)fは

f=ω/2π=(1/2π)√(g/L)

周期Tは

T=1/f=2π√(L/g)

No.1 回答者： oze4hN6x 回答日時： 2014/12/16 15:09

この形の微分方程式の解は

θ=Aexp(iωt+θ0)

で与えられます。(解き方は「単振動　微分方程式」などで調べればたくさん出てきます)
これを元の方程式に代入するとわかる通り、

ω^2 = g/L

です。