物理 力学

一直線上を一定加速度aで運動する質点がある。その加速度を求めるため時刻t1,t2,t3における質点の位置を測定したところ,それぞれx1,x2,x3を得た。
aをt1,t2,t3,x1,x2,x3を全て用いて表せ

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/04/17 00:34

実験から加速度を求めるような場合ですね。

　例えば、斜面にボールを転がすとか、ある高さから物体を自由落下せて、時間と位置を測定して（今はオートシャッターカメラや動画撮影すればよい）、重力加速度を実験的に求めるような。
　微分・積分を使わずに、高校レベルで実験的に加速度を求めることができます。

　ということで、与えられた条件を使って、

・時刻t1～t2の平均速度：(x2 - x1)/(t2 - t1)　　（ａ）
・時刻t2～t3の平均速度：(x3 - x2)/(t3 - t2)　　（ｂ）

が求まります。

　加速度は一定なので、速度は時間に関して「直線的に増加」します（時間の一次関数）。
　つまり、平均速度は「時間の中点」の実速度ということです。

・時刻 (t1 + t2)/2 のときの速度が（ａ）に等しい。　　（ｃ）
・時刻 (t2 + t3)/2 のときの速度が（ｂ）に等しい。　　（ｄ）

　（ｃ）と（ｄ）の差が「速度の増加」ですから、それを時刻の差で割ったものが、平均の速度増加率＝加速度ということになります。つまり、

　　[(x3 - x2)/(t3 - t2) - (x2 - x1)/(t2 - t1)] / [(t2 + t3)/2 - (t1 + t2)/2]
　= 2 * [(x3 - x2)/(t3 - t2) - (x2 - x1)/(t2 - t1)] / (t3 - t1)

です。これが求める a です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです

お礼日時：2015/04/17 01:00

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/04/16 23:38

こんなはったりだけの問題にひるまないでください。

ポイントは

x=at^2/2+bt+c

と置けることが直感的に思いつけるかどうかです。bはt=0における速度、cはt=0における点の座標です。３点(t1,x1),(t2,x2),(t3,x3)の条件からb,cを消去し、aを求めれば良い。未知数３つで条件３つなので解ける。解を求めるまでもないだろう。そんな陳腐なことはしたくないぐらいのプライドを持ちましょう。

ともあれ、とかなければ0点という現実に対応しよう。

x1=a^t1^2+bt1+c (1)
x2=a^t2^2+bt2+c (2)
x3=a^t3^2+bt3+c (3)

(1)-(2) ⇒ (ｘ1-ｘ2)/(t1-t2)=a(t1+t2)/2+b　　　（4）
(2)-(3) ⇒ (ｘ2-ｘ3)/(t2-t3)=a(t2+t3)/2+b　　　（5）

(4)-(5) ⇒ a(t1-t3)/2=(ｘ1-ｘ2)/(t1-t2)-(ｘ2-ｘ3)/(t2-t3)

これよりaを求めると非常に対称性がよくて

a=2[(ｘ1-ｘ2)/(t1-t2)-(ｘ2-ｘ3)/(t2-t3)]/(t1-t3)

=2[t1(x2-x3)+t2(x3-x1)+t3(x1-x2)]/(t1-t2)(t2-t3)(t3-t1)