数学(ベクトル)の問題を解いて下さい、お願いします。

鬱病でずっと勉強どころではないに、卒業に必要な課題を出されて困窮しています。これ以上親に迷惑をかけたくないんです…。どうか助けてください。
計算過程はそこそこで大丈夫です。出来る範囲で良いのでお願いします。→はベクトルとみなして下さい。


[1] 点A(4, 2)を通り、 →n=(3, 2)に垂直な直線の方程式を求めよ。


[2] 2点 A(3, -2, 4) B(-1, 1, 4)について、ベクトル→ABの成分表示を求めよ。
　　また、|→AB|を求めよ。


[3] →a=(x, 1, -2), →b=(3, y, 6)が平行になるように、x,yの値を定めよ。


[4] →a=(2, 0, -1), →b=(2, 4, 1)の内積を求めよ。


[5] →a=(1, 2, 1), →b=(2, 1, -1)のなす角θを求めよ。


[6] →a=(2, -1, 1), →b(1, 3, x)が垂直になるように、 xの値を定めよ。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/12 10:31

[1] 「→n=(3, 2)に垂直な直線」というのは分かりますか？

　「→n=(3, 2)」のベクトルの向きは、「3つ行って、2つ上がる」方向です。傾きが「2/3」。式で書けば
　　　y = (2/3)x + H

　これと垂直な直線は、「2つ行って、3つ下がる」になることを、図に書いて確認しましょう。
　これさえ分かれば、この「垂直な直線」の式は、
　　　y = -(3/2)x + K
です。これが (4, 2) を通るので、x=4, y=2 を代入して
　　　2 = -(3/2) × 4 + K = -6 + K
より
　　　K = 8
よって、求める直線は
　　　y = -(3/2)x + 8


[2] 「ベクトル→ABの成分表示」というのは、「点Ａを起点(0, 0, 0)にしたときの、点Ｂの座標」ということです。
　つまり、点Ａの座標を「引いて」やればよいのです。（点Ａの座標から、点Ａの座標を引けば、点Ａが起点(0, 0, 0)になるから）
　よって、
　　→AB = (-1 -3, 1 - (-2), 4 - 4 ) = ( -4, 3, 0 )

　ベクトルの絶対値は、「矢印の長さ」なので、「三平方の定理」より
　　　|→AB| = √[ (-4)^2 + 3^2 + 0^2 ) = √(16 + 9) = √25 = 5


[3] →aと→bが平行ということは、定数 A に対して
　　　A→a = →b
ということです。これを成分表示すれば
　　　Ax = 3
　　　A = y
　　　-2A = 6
です。３番目から
　　　A = -3
ですから、あとはこれを代入して
　　　x = 1
　　　y = 3


[4] 「内積」は、その「定義」や考え方をしっかり理解しておいた方がよいです。図を見ながらの方が分かりやすいので、ここに文章で書くよりも、リンク先などを見てもらう方がよいでしょう。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vecto …

2つのベクトルの内積は、成分で表わすと
　　→A・→B = xa*xb + ya*yb + za*zb
になるのですが、これを「公式」ではなく、何故そうなるのかということで理解してください。

この問題は、これを使えば
　　→a・→b = 2*2 + 0*4 + (-1)*1 = 4 - 1 = 3
となります、


[5] 内角が
　　→a・→b = |→a|・|→b| cosθ
であることを使います。（これも、[4]の内積のところで確認してください）

　　→a・→b = 1*2 + 2*1 + 1*(-1) = 2 + 2 - 1 = 3
　　|→a| = √( 1^2 + 2^2 + 1^2 ) = √6
　　|→b| = √( 2^2 + 1^2 + (-1)^2 ) = √6
ですから
　　3 = √6 * √6 * cosθ
より
　　cosθ = 1/2
これより
　　θ = 60°


[6] これも[1]のように「いくつ進んで、いくつ上がる」でやってもよいのですが、3次元になるとちょっと複雑。
　上の「内積」を使うと、「垂直になる」ということは θ = 90° なので、cosθ = 0 になることを使いましょう。

　　→a・→b = 2*1 + (-1)*3 + 1*x = x - 1

これが
　　|→a|・|→b| cosθ = |→a|・|→b| cos90° =0
になるので
　　x - 1 = 0
∴　x = 1


　じっくり、ゆっくりでよいので、着実に身に付けて行きましょう。暗記などしなくとも、基本に戻って「ああ、そうだった」と納得できれば、それが「理解した」ということですから。