本当にラストにします‥‥この底面の半径d.高さhの円すいの重心位置を教えてください！式となんでその式

本当にラストにします‥‥この底面の半径d.高さhの円すいの重心位置を教えてください！式となんでその式になるかも教えてください！

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/17 15:42

ANo4 の Tacosan の答えが常識なんですが

教科書通り地道にやってみます。

全体の重さを 1 とすると 密度は ρ=3/(Sh)

z軸の垂直に切った円錐の断面積bは

b= S{(h-z)/h}^2

z方向の重心位置は

z方向の重心位置=∫zρdm ですが、dm は薄くZ軸に垂直に
切り出した円盤の質量とすると

dm = ρbdz = 3/(Sh)・S{(h-z)/h}^2・dz = (3/h^3)(h-z)^2・dz

だから

z方向の重心位置=∫zρdm =∫[0→h]z(3/h^3)(h-z)^2・dz
=(3/h^3){h^4/2 - (2/3)h^4 + h^4/4}
=3h{1/2 - 2/3 + 1/4} = 3h(1/12) = (1/4)h

ちなみに、重心とは同じ体積になるように切る位置ではないです。
釣り合うのは重さではなく重力による力のモーメント。これ基本。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/17 12:17

重心は z軸上で O からの距離は h/4.

理由: 直錐体だから重心位置は高さの 1/4.

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/17 10:41

下の回答はそれらしく式を書いたけど、暗算問題だから、別解を1個。

重心の上に来る小さい円錐と元の円錐は相似形。

小さい円錐の体積が元の1/2になればよい。
体積比1:2だから長さ比（相似比）は1:³√2
小さい円錐の高さはh/³√2。

元の円錐の底面から計ると、h-h/³√2 となる。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/17 09:36

図を忘れたから、もう１回

OZを軸として二等辺三角形を回転した図形だから、重心はOZ軸上にある。
重心は重さが釣り合う点だから、OZ上の点の上側立体と下側立体の重さが等しい点。つまり立体の体積が等しい点。
Oから重心までの高さをkとして式を立てれば答えがでる。
下の図を参照
元の円錐の底面積をSとすると、S1=S(h-k)²/h²
重心の上側体積=S1×(h-k)/3=S(h-k)³/3h²
重心の下側体積=Sh/3 - S(h-k)³/3h²
この両方が等しいから
Sh/3 - S(h-k)³/3h²=S(h-k)³/3h²
Sh=2S(h-k)³/h²
h³/2=(h-k)³
h-k=h/³√2

∴　k=h-h/³√2 (³√2は３乗根２の意味）

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/17 09:32

OZを軸として二等辺三角形を回転した図形だから、重心はOZ軸上にある。

重心は重さが釣り合う点だから、OZ上の点の上側立体と下側立体の重さが等しい点。つまり立体の体積が等しい点。
Oから重心までの高さをkとして式を立てれば答えがでる。
下の図を参照
元の円錐の底面積をSとすると、S1=S(h-k)²/h²
重心の上側体積=S1×(h-k)/3=S(h-k)³/3h²
重心の下側体積=Sh/3 - S(h-k)³/3h²
この両方が等しいから
Sh/3 - S(h-k)³/3h²=S(h-k)³/3h²
Sh=2S(h-k)³/h²
h³/2=(h-k)³
h-k=h/³√2

∴　k=h-h/³√2 (³√2は３乗根２の意味）