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高校物理では速度v=Δx/Δt でしたが大学からはdx/dt になりました。微分を使った定義の方が優れている点とはなんでしょうか

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A 回答 (4件)

両者に差はない。


⊿x/⊿tは説明の過程では「微小ではあるが、有限のある数値」と説明されますが、本質的には dx/dtと全く同じです。
50年前の高校では、微分積分を学ぶ前にニュートン力学を学びますので、微分を使えない。
また、ニュートン力学を直感的に理解するには、算術からアプローチする方が手早かったのでしょう。
その伝統がいまでも残っているのです。
しかし、両者は異なる算法だ、とのあなたの認識は問題です。
もっと勉強して下さい。
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高校ではΔxを微小な変位、Δtを微小な時間差、v=Δx/Δt


を「瞬間の速度」と習ったはずです。

でもこれは厳密には間違いなんです。ΔtとΔxが0で無い以上
Δx/Δtは非常に短い時間差での「平均速度」であって「瞬間の速度」
ではありません。

「瞬間の速度」とは、ΔxとΔtをどんどん小さくしてゆくと
Δx/Δtが限りなく近づいてゆく(収束する)値です。これを

lim[Δt→0]Δx/Δt=dx/dt=v

などと書きます。「瞬間の速度」は本当は微分がないと
定義できないのです。なので高校で微積分を習わないうちは
しょうがないので誤魔化しているのです。
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優れていると言うか、元々、ニュートン力学は、運動方程式を微分から求めています。


今のほとんどの物理学(高校以下の教科書を除く)では、微分の記法はライプニッツの記法を使用していると思いますが、古い教科書(力学など)では、ニュートンの記法(xの上に・(ドット)や・・(ダブルドット)が書かれている記号)を使用していました。(xの上に・は、dx/dt、xの上に・・は、d^2x/dt^2と同じ意味です)
微分を使用した方が、瞬間の速度を利用できますし、微分方程式を解くことによって、運動方程式を求める事が可能になります。
lim[Δt→0]Δx/Δtとすれば、dx/dtと同じになります。
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「微分を使った定義の方が優れている」というより、それが定義そのもので、微小区間で速度が一定とみなす「v=Δx/Δt」はそれを「近似」しているのです。


「v=Δx/Δt」の式で、Δt →0 の極限が「dx/dt」ですから。

高校生は、まだ「微分」の概念を学んでいませんので。
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