数学Ⅰ 展開 組み合わせの工夫

すみません。青チャートの展開の問題で、組み合わせの工夫の回答へ導く手順がいまいち理解できません。

(a＋b＋c)(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)

＝｛a＋(b＋c)｝｛a^2－(b＋c)a＋b^2－bc－c^2｝

＝a^3＋｛(b＋c)－(b＋c)｝a^2

　＋｛(b^2－bc＋c^2)－(b＋c)^2｝a＋(b＋c)(b^2－bc＋c^2)

＝a^3－3bca＋b^3＋c^3

＝a^3＋b^3＋c^3－3abc

という感じなんですけど、数学が苦手な自分では手順を見てもさっぱり分からなくて困っています。
まず、

＝｛a＋(b＋c)｝｛a^2－(b＋c)a＋b^2－bc－c^2｝

がどうして、

＝a^3＋｛(b＋c)－(b＋c)｝a^2

　＋｛(b^2－bc＋c^2)－(b＋c)^2｝a＋(b＋c)(b^2－bc＋c^2)

というようになったのか、そこから不明です。

身内に教えてくれそうな人が居なかったので、恥ずかしながらこちらで質問させていただきました。できるだけで良いので、簡単な説明をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/10/14 06:50

(ｂ＋ｃ)が見辛くて煩わしいんで、(ｂ＋ｃ)＝Xと置いてみてください。

すると、
＝(ａ＋Ｘ)(ａ²－Xａ＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
となるはずです。
ちなみに、＋ｃ²で、－ｃ²ではありません。
＝ａ(ａ²－ａX＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)＋Ｘ(ａ²－ａX＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³－ａ²X＋ａ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)＋ａ²Ｘ＋Ｘ(－ａX＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³＋ａ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²－Ｘ²)＋Ｘ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³＋ａ(－3ｂｃ)＋Ｘ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³－3ａｂｃ＋(ｂ＋ｃ)(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³－3ａｂｃ＋ｂ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)＋ｃ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ³－3ａｂｃ＋(ｂ³－ｂ²ｃ＋ｂｃ²
　　　　　　　　　　＋ｂ²ｃ－ｂｃ²＋ｃ³)
＝ａ³－3ａｂｃ＋ｂ³＋ｃ³
＝ａ³＋ｂ³＋ｃ³－３ａｂｃ

あるいは、ｂ²－ｂｃ＋ｃ²＝X²－３ａｂｃだから、
＝(ａ＋Ｘ)(ａ²－ａX＋X²－３ｂｃ)
＝ａ(ａ²－ａX＋X²－３ｂｃ)＋Ｘ(ａ²－ａX＋X²－３ｂｃ)
＝ａ³－ａ²X＋ａX²－３ａｂｃ＋
　　＋ａ²Ｘ－ａX²＋X³－３ｂｃＸ
＝ａ³－３ａｂｃ＋
　　＋X³－３ｂｃＸ
＝ａ³－３ａｂｃ＋Ｘ(Ｘ²－３ｂｃ)
＝ａ³－３ａｂｃ＋Ｘ(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝(ａ³－３ａｂｃ)＋(ｂ＋ｃ)(ｂ²－ｂｃ＋ｃ²)
＝(ａ³－３ａｂｃ)＋ｂ³－ｂ²ｃ＋ｂｃ²
　　　　　　　　　 　＋ｂ²ｃ－ｂｃ²＋ｃ³
＝(ａ³－３ａｂｃ)＋ｂ³＋ｃ³
＝ａ³＋ｂ³＋ｃ³－３ａｂｃ


＝｛ａ＋(ｂ＋ｃ)｝｛ａ²－(ｂ＋ｃ)ａ＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝ａ｛ａ²－(ｂ＋ｃ)ａ＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝＋(ｂ＋ｃ)｛ａ²－(ｂ＋ｃ)ａ＋ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝｛ａ³－(ｂ＋ｃ)ａ²＋ｂ²ａ－ａｂｃ＋ｃ²ａ｝＋(ｂ＋ｃ)ａ²－(ｂ＋ｃ)²ａ＋(ｂ＋ｃ)｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝ａ³－(ｂ＋ｃ)ａ²＋ｂ²ａ－ａｂｃ＋ｃ²ａ
　　＋ (ｂ＋ｃ)ａ²－(ｂ＋ｃ)²ａ　　　　　＋(ｂ＋ｃ)｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝ａ³＋ｂ²ａ－ａｂｃ＋ｃ²ａ
　　－(ｂ＋ｃ)²ａ　　　　　＋(ｂ＋ｃ)｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝ａ³＋ａ｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²－(ｂ＋ｃ)²｝＋(ｂ＋ｃ)｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝ａ³＋ａ｛－３ｂｃ｝＋(ｂ＋ｃ)｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝｛ａ³－３ａｂｃ｝＋ｂ｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝＋ｃ｛ｂ²－ｂｃ＋ｃ²｝
＝｛ａ³－３ａｂｃ｝＋ｂ³－ｂ²ｃ＋ｂｃ²
　　　　　　　　　　　　＋ｂ²ｃ－ｂｃ²＋ｃ³
＝ａ³＋ｂ³＋ｃ³－３ａｂｃ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/14 00:31

こと展開についていえば

基本に忠実に丁寧に処理すれば誰にも必ずできる
ことです.

「数学が苦手」「手順を見てもさっぱり分からない」といって, 「地道に手を動かす」ことをサボっているのではありませんか?