『落下する鎖』の運動方程式と張力

教えてください。
徐々に落下する鎖の問題です。
http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mech …

Q.水平な机の端付近に細くて長い鎖（質量線密度ρ）を積み上げる。鎖の一端は頂上にある。この端をつまんで動かし、机の端から長さ x0 だけ垂れ下げ、その状態で鎖全体を固定した。t = 0 で 固定をはずすと、垂れ下がった部分の受ける重力で引っ張られて、鎖の山から鎖の一部分が移動していき、垂れ下がった部分の長さ x が増大するとともに鎖の山も小さくなっていく。鎖は常に積み上げた「山」の頂上から移動していくものとする。また、鎖の山は机の端にきわめて接しており、机の端からの距離はないものとする。また、鎖の山の高さは十分低く、頂上の高さの変化も無視する。運動方程式を求めよ。

この現象の運動方程式を知りたいのですが、うまくいかずに困っています。
上記のURLのようにラグランジュ方程式から運動方程式を導くと
ρx g - ρv＾2/2 = ρx a となり（aは加速度）、この解法自体は理解できるのですが、
自力で立てた運動方程式と異なってしまい、その原因が分からずにいます。

自力で立てると、質量mはρx 、F=(mv)' なので、
ρx g - ρv＾2= (ρx v)' ・・・・・(1) より、
ρx g - ρv＾2= ρv＾2＋ρx a
ρx g - 2ρv＾2=ρx a となり、異なってしまいます。

自力の(1)式の左辺第2項のρv＾2はPDFにもあるように鎖上端部の力積から来る張力のような効果です。（しかし、そもそもなぜPDFの後半の説明にあるようにこの力が半分の値になるのかもよく理解できません）

質問は「自力による運動方程式の立て方」ですが、
合わせて「なぜ力積による張力が半分の効果として現れるのか」
という点も教えて頂けますと助かります。
どうぞよろしくお願い致します。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/30 23:08

なかなか面白い問題ですね。

ちょっと考え込んでしまいました。
おそらくラグランジュの方程式もあなたの答えも間違ってます。

ラグランジュの方程式は、現れる力が保存力の場合で、
現れるエネルギーが運動エネルギーと位置エネルギーのみ場合に
適用できます。

鎖の山から鎖が取り出される瞬間の力の働き方は明らかに
非弾性衝突なので、エネルギー損失を伴います。

鎖をロープで球がつながったものと考えるとわかりやすいです。
ロープで球をひとつづつ手繰って山から取り出すのを
イメージすると分かりやすい。

球が前の球にロープで山から取り出されるとき、速度は０から
無限大の加速で v へ変化します。これを例えば2個の同重量の球で
計算すると

1) 手繰る前のエネルギー = (1/2)mv^2
2) 手繰って次の球が取り出されたあとのエネルギー
(1/2)m(v/2)^2 + (1/2)m(v/2)^2 = (1/4)mv^2

でエネルギーを保存しません。

なのでラグランジュの方程式では解けないと思います。

単純に、エネルギーの非保存に耐える、運動量保存則で攻めるのが
正解だと思います。

鎖が解けてゆくとき、外部からは重力しか加わらないので、運動量は
dP/dt=gρx (g: 重力加速度)

P = ρxv なので

d(ρxv)/dt=ρxa + ρv^2 = gρx (a: 加速度、g: 重力加速度)

これが運動方程式でしょう。(1/2)ρv^2 は誤りでしょう。

(1/2)ρv^2 で計算すると、当然ラグランジュの方程式の仮定から
力学的エネルギーが保存した解が得られます。

しかし、最初の考察から、エネルギーの散逸は避けられないはずなので
そういう答えは誤りのはずです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに非保存力なので通常のラグランジュ方程式は使えなそうですね。
というわけで非保存力Fのある場合のラグランジュ方程式　
d(∂L/∂v)/dt - ∂L/∂x = F で計算してみたところ、
運動方程式は　ρxg ＋ ρv＾2/2 =ρxa となり、
tknakamuriさんの書かれた式、ρxa + ρv^2 = gρx とも異なりました。
やはりまだ何かおかしい気がします。

お礼日時：2016/10/31 08:38

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/31 10:32

>d(∂L/∂v)/dt - ∂L/∂x = F で計算してみたところ

そんなに簡単でした?

これを使う場合、FはΔx当たりのエネルギー損失を
見積もるところから始めないといけないはずですけど・・・