実数a,b,cがa+b+c=2 を満たすとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求めよ 教えて下さい！

実数a,b,cがa+b+c=2 を満たすとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求めよ

教えて下さい！

先程の投稿を誤って締め切ってしまったので、もう一度投稿しました。

No.1 回答者： shino0612_hanko 回答日時： 2017/05/04 18:50

間違ってたらごめんなさい。

2かな？

No.2 回答者： shino0612_hanko 回答日時： 2017/05/04 18:52

あ、1.5もある。

ごめんなさい(´；ω；`)

No.3 回答者： shino0612_hanko 回答日時： 2017/05/04 18:53

0.5と0.5と1。

これ以外は私の学力ではわかりません(´；ω；`)
真に申し訳ない……

No.4 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/05/04 19:08

平方完成(完全平方)の回答書く前に締め切られたので再度

a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ca=4-2ab-2bc-2ca。

この式にc=2-a-bを代入して整理すると。
-a²-2(2b-1)a-b²+2b+4。

これを、aとbについて(完全平方)すると

-{a+(2b-1)}²+3(b-1/3)²+4/3。

これは必ず4/3以上となるので最小値は4/3。
(例えば　a=1/3,b=1/3の時、左2個の²部分は0)

この回答へのお礼

二度もありがとうございます。
よくわかりました！！
ベストアンサーしたいと思います。

お礼日時：2017/05/04 19:15

No.5 回答者： drjoyhistory 回答日時： 2017/05/04 19:08

コーシーシュワルツの不等式って知ってますか？

(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2というものです。
この不等式は任意のx,y,zで成り立つので、x=y=z=1を代入して整理すると、
a^2+b^2+c^2≧4/3（さんぶんのよん）
となります。