アレルギー対策、自宅でできる効果的な方法とは?

不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急にやり方が分からなくなります。この問題の解き方教えて下さい!

「不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急」の質問画像

A 回答 (2件)

x・x^(ー2/3)=x^(3/3)・x^(ー2/3)=x^(3-2/3)=x^(1/3) であってx^(-4/3)ではないね!



部分積分(慣れたらワンパターン!)で解くと
∮ (x+2)x^(ー2/3)dx=∮(x+2) {x^(ー2/3 +1)/(1/3)}' dx=∮(x+2)(3x^(1/3))' dx
=(x+2){3x^(1/3)}ー ∮ (x+2)' 3x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3∮ x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3(3/4)x^(4/3) +C
=6x^(1/3)+(3ー9/4)x^(4/3) +C
=(3/4)x^(4/3)+6x^(1/3) +C
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結局、指数が分数(マイナスの場合もあり)になるだけです。



(x+2)/{(x^2)^(1/3)}
=(x+2) x^(-2/3)
=x^(1/3) + 2 x^(-2/3)

なので、これの不定積分は、
x^(1/3 +1) / (1/3 +1) + 2 x^(-2/3 +1) / (-2/3 +1)
=(3/4) x^(4/3) + 6 x^(1/3) + C

となります。
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http://i.imgur.com/8a0wbf9.jpg

Aベストアンサー

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
となって重解になる。
つまり、判別式D=0

問題の解答は、
y=x^2+a と x^2+y^2=9 から x を消去して
(y-a)+y^2=9
y^2+y-a-9=0
と、yの2次方程式になっています。

[1] 放物線と円が2点で接するとき
グラフ(ウ)のように2点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると2個の交点が近づいていき、
ついには、2個の交点が一致して
グラフ(エ)のように円と接する。

yの2次方程式だから、yの値が2個(α、β)あり、
(グラフはx軸に関して対称だから、x>0で考える)
グラフを平行移動させることにより
α=βとなり、円と接することになる。

(添付写真があるので、次に続く)

【 接する 】ということを、少し変わった角度から考えて・・・


『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
  ~~~~~~~~~~

2次方程式の解は、x軸との交点のx座標の値で、
2つの解をα、βとすると、2次方程式は、
(x-α)(x-β)=0
で表され、グラフ(ア)のようにx軸と異なる2点で交わる。


(ア)のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ(イ)のように、x軸と接する。

このとき、α=βとなり、
(x-α)^2=0
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Q急いでいます、、数学です!

こんばんは。
数学の問題なのですが、解ける方教えてください。
b=8までは出せました、そのあとにbを代入するとどのように計算していいのか分かりません。
分かる方よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

紙に書き写しながら見てください。
^2や^3は2乗や3乗のことです。
(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3という公式を用いて解きます。今回では分子の(ax+b)^1/3が公式のAにあたり、分子の2が公式のBにあたります。
つまり、分子がA-Bにあたります。なので、方針的には分子と分母にA^2+AB+B^2をかけて、分子を
A^3-B^3にする感じです。
問題に戻ります。b=8になるのは多分大丈夫でしょう。
極限を取ると分母が0に近づくので、収束するとき分子も0に近づきます。
よって、
lim (ax+b)^1/3-2=0 よってb=8
x→0
よって与式は
lim (ax+8)^1/3-2/xとなります。
x→0
このあと先ほどの公式を使います。
分子と分母に
{(ax+8)^2/3+(ax+8)^1/3・2+2^2}
をかけます。
すると分子が(ax+8)- 8 =ax
分母が x・{(ax+8)^2/3+(ax+8)^1/3・2+2^2}
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分母が{(ax+8)^2/3+(ax+8)^1/3・2+2^2}
となります。
lim 分子/分母=a/4+4+4=a/
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となり、a/12=2/3よりa=8となります。

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つまり、分子がA-Bにあたります。なので、方針的には分子と分母にA^2+AB+B^2をかけて、分子を
A^3-B^3にする感じです。
問題に戻ります。b=8になるのは多分大丈夫でしょう。
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軌跡の方程式についての質問なのですが、教科書の例題で、2点A(4,0),B(0,2)に対して、条件AP=BPを満たす点Pの軌跡の方程式を求めよ。という問題があり、答えが(途中まで)、条件を満たす点Pの座標を(x,y)とする。AP=BPより、AP^2=BP^2であるから、(x-4)^2+y^2=x^2+(y-2)^2=2x-y-3=0・・・(以下省略)と書いてあったのですが、等式AP=BPを計算するだけでどうして直線上のどこに点Pをとっても条件を満たす方程式を求められるのかがわかりません。自分は数学が苦手でさらに国語力も無いので文章がまとまってないかもしれませんが、基礎から分かりやすく説明していただればありがたいです。よろしくお願いします。

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三平方の定理を使う
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例えば、3辺の長さが3,4,5の3角形では5²=3²+4²(25=9+16)なので直角3角形

下の図で
赤直角3角形では、三平方の定理よりBP²=x²+(y-2)² ①
青直角3角形では、三平方の定理よりAP²=(x-4)²+y² ②

AP=BPだからAP²=BP²
①、②よりx²+(y-2)²=(x-4)²+y²

後は、この式を展開すると
x²+y²-4y+4 = x²-8x+16+y²

右辺を左辺へ移項すると
x²+y²-4y+4-x²+8x-16-y²=0
8x-4y-12=0

両辺を4で割って
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Q数学のイコールの揃え方 中学三年生です。数学の先生に、 ○=△=□ と ○ =△ =□ という書き方

数学のイコールの揃え方
中学三年生です。数学の先生に、
○=△=□ 

 ○
=△
=□
という書き方は正解で、
○=△
 =□
という書き方をしてはいけないと教わりました。
これは本当でしょうか?今まで聞いたことのないことなのでよくわかりません。
また、その理由も教えてください。
分かりにくくすみません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
テストの点数なんてどうでもいいじゃないですか。
数学なんですから、正しければそれでいいんです。
テストの紙に「×」って書いてあっても、正しいものは正しいです。
入試とかじゃないのならば、それでいいじゃないですか。

「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
が目的ならば、追求すればいいですが、
「何が正しいのかを知りたい」
のであれば、あなたが100%正しいので、安心して、次の問題に取り組んでください。

ただ、「慣例」というものがあって、
「数学的には完全に正しいけど、記述方法として好ましくない」
というものはあります。

たとえば、文章題で、回答のはじめに
「"+"記号とは引き算を意味すると定義する」
として、「+」記号を引き算の記号「ー」のように使うことは数学的には
完全に正しいですが、好ましくありません。
ある程度、
「みんなで同じ定義や記述方法をそろえておく」
というのは、コミュニケーションの上では結構重要です。
みんなバラバラの定義を使ったら大変ですよね。

○=△
 =□
確かにこのような書き方は、
「3つの式が等しい」
ことを意味するよりも、
「○を変形したら□になりました」
とか
「○にある変数を代入したら□になりました」
みたいな印象を与えます。
そういう意味で、
「正しいけれど、慣例に従ったほうが良い」
として間違いにしたのならば、少し理解できます。
が、やはり数学的には正しいので、数学の問題である以上
「間違い」には出来ないと思います。

公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

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Q数学 式による説明

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【HIT THE MARK 数研出版】

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数研出版はなぜか自宅学習用の答えを売ってくれませんね。 もしかしたら20-30倍くらいの値段でオークションで売ってる人がいるかもしれませんが。

Q不等式を満たす方程式の解について

3x−y=0, mx+y=1 の解が x+y>5 を満たすのは、どのようなmのときでしょうか?
連立方程式からxまたはyを消した後に、どうすればいいのかがわかりません。

Aベストアンサー

いちばん素直な方法は
1) 連立方程式を解きます。
x と y が m を含む式で表されます。
2) これから、x + y が m を含む式で表されます。
3) 不等号の向きに注意して整理すると、最終的に、m に関する1次不等式になります。
4) それを解きます。

他には、
1) グラフを書きます
  3x - y = 0 のグラフは、変形すると y = 3x なので、原点を通る傾き3のグラフです。
  mx + y = 1 のグラフは変形すると、y = -mx + 1 なので、y切片が1で、傾き m のグラフです。
x + y > 5 のグラフは、(0,5)(5,0)を通る直線(領域はその上側)です。

2) 連立方程式の解は、最初の2本の直線の交点です。
  これが、 x + y = 5 の直線の下側で交わればOKです。
  具体的には、x + y =5 と (m を含まない)3x - y = 0 を解き、交点を求めます。

3) 上で求めた、交点の x座標を mx + y = 1 に代入すると、m と y の式ができます。
  ここで、yの値が、2) で求めた交点の y 座標以上であれば、問題を満たします。

いちばん素直な方法は
1) 連立方程式を解きます。
x と y が m を含む式で表されます。
2) これから、x + y が m を含む式で表されます。
3) 不等号の向きに注意して整理すると、最終的に、m に関する1次不等式になります。
4) それを解きます。

他には、
1) グラフを書きます
  3x - y = 0 のグラフは、変形すると y = 3x なので、原点を通る傾き3のグラフです。
  mx + y = 1 のグラフは変形すると、y = -mx + 1 なので、y切片が1で、傾き m のグラフです。
x + y > 5 のグラフは、(0,5)(5,0)を...続きを読む

Q下画像の複素数の問題(2)についてお聞きします 回答によるとz1=1としても一般性を失わないとありま

下画像の複素数の問題(2)についてお聞きします
回答によるとz1=1としても一般性を失わないとありますが、どうして一般性を失わないのでしょうか…?
よろしくお願いします

Aベストアンサー

△ABCが正三角形であるから、∠AOB=∠BOC=∠COA=2π/3
z1=cosα +isinα
z2=cos(α+2π/3) +isin(α+2π/3)
z3=cos(α+4π/3) +isin(α+4π/3)

z1+z2+z3
=cosα +isinα +cos(α+2π/3) +isin(α+2π/3) +cos(α+4π/3) +isin(α+4π/3)
=cosα +cosα・cos(2π/3) -sinα・sin(2π/3) +cosα・cos(4π/3) -sinα・sin(4π/3)
+isinα +i{sinα・cos(2π/3) +cosα・sin(2π/3)}
+i{sinα・cos(4π/3) +cosα・sin(4π/3)}
=cosα +cosα・(-1/2) -sinα・(√3 /2) +cosα・(-1/2) -sinα・(-√3 /2)
+isinα +i{sinα・(-1/2) +cosα・(√3 /2)} +i{sinα・(-1/2) +cosα・(-√3 /2)}
=cosα・(1 -1/2 -1/2) +sinα・(√3 /2 -√3 /2)
+isinα・(1 -1/2 -1/2) +icosα・(√3 /2 -√3 /2)
=0

までが(1)。次に(2)

z1+z2+z3=0 が成り立つとき、
A,B,C は、|z1|=|z2|=|z3|=1 であるから、半径1の円上の点とできます。
ここでAをまず決めることになりますが、
Aは円上の点なので、z1=cos0 +isin0 =1 として決めておきます。
一般性を失わないのは、これが正三角形であることを証明してしまえば、
z1=cosα +isinα のときには最後にαだけ回転させたものを考えればよいからです。
(上でやった計算を見てもらえれば、初期角度αに依らないことがわかるはず)

すると、z1+z2+z3=0 より、z2+z3=-z1=-1
ここで、
z2= cosβ +isinβ
z3= cosγ +isinγ
とおくと、
cosβ +isinβ +cosγ +isinγ =-1 より
cosβ +cosγ =-1 かつ、sinβ +sinγ =0

sinβ +sinγ =0 より (π<γ<2π を考慮して)
γ=2π-β
なので、
cosβ +cosγ
=cosβ +cos(2π-β)
=cosβ +cos(2π)・cosβ +sin(2π)・sinβ
=cosβ +cosβ
=2cosβ
=-1

したがって、cosβ=-1/2 より
β=2π/3
γ=4π/3

このことから、B,CはAから 2π/3 ずつ回転した点であることがわかる。
よって△ABCは正三角形となる。

△ABCが正三角形であるから、∠AOB=∠BOC=∠COA=2π/3
z1=cosα +isinα
z2=cos(α+2π/3) +isin(α+2π/3)
z3=cos(α+4π/3) +isin(α+4π/3)

z1+z2+z3
=cosα +isinα +cos(α+2π/3) +isin(α+2π/3) +cos(α+4π/3) +isin(α+4π/3)
=cosα +cosα・cos(2π/3) -sinα・sin(2π/3) +cosα・cos(4π/3) -sinα・sin(4π/3)
+isinα +i{sinα・cos(2π/3) +cosα・sin(2π/3)}
+i{sinα・cos(4π/3) +cosα・sin(4π/3)}
=cosα +cosα・(-1/2) -sinα・(√3 /2) +cosα・(-1/2) -sinα・(-√3 /2)
+isinα +i{sinα・(-1/2) +cosα・(√3 /2)} +i{sinα・(-1/2) +cos...続きを読む


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