不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急にやり方が分からなくなります。この問題の解き方教えて下さい!

「不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急」の質問画像

A 回答 (2件)

x・x^(ー2/3)=x^(3/3)・x^(ー2/3)=x^(3-2/3)=x^(1/3) であってx^(-4/3)ではないね!



部分積分(慣れたらワンパターン!)で解くと
∮ (x+2)x^(ー2/3)dx=∮(x+2) {x^(ー2/3 +1)/(1/3)}' dx=∮(x+2)(3x^(1/3))' dx
=(x+2){3x^(1/3)}ー ∮ (x+2)' 3x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3∮ x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3(3/4)x^(4/3) +C
=6x^(1/3)+(3ー9/4)x^(4/3) +C
=(3/4)x^(4/3)+6x^(1/3) +C
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結局、指数が分数(マイナスの場合もあり)になるだけです。



(x+2)/{(x^2)^(1/3)}
=(x+2) x^(-2/3)
=x^(1/3) + 2 x^(-2/3)

なので、これの不定積分は、
x^(1/3 +1) / (1/3 +1) + 2 x^(-2/3 +1) / (-2/3 +1)
=(3/4) x^(4/3) + 6 x^(1/3) + C

となります。
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