不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急にやり方が分からなくなります。この問題の解き方教えて下さい！

不定積分ですが、ルートと分数が混ざると急にやり方が分からなくなります。この問題の解き方教えて下さい！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/21 18:31

x・x^(ー2/3)=x^(3/3)・x^(ー2/3)=x^(3-2/3)=x^(1/3) であってx^(-4/3)ではないね！

部分積分(慣れたらワンパターン！)で解くと
∮ (x+2)x^(ー2/3)dx=∮(x+2) ｛x^(ー2/3 +1)/(1/3)｝' dx=∮(x+2)(3x^(1/3))' dx
=(x+2)｛3x^(1/3)｝ー ∮ (x+2)' 3x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3∮ x^(1/3)dx
=3(x+2)x^(1/3)ー3(3/4)x^(4/3) +C
=6x^(1/3)+(3ー9/4)x^(4/3) +C
=(3/4)x^(4/3)+6x^(1/3) +C

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/06/17 07:10

結局、指数が分数（マイナスの場合もあり）になるだけです。

(x+2)/{(x^2)^(1/3)}
=(x+2) x^(-2/3)
=x^(1/3) + 2 x^(-2/3)

なので、これの不定積分は、
x^(1/3 +1) / (1/3 +1) + 2 x^(-2/3 +1) / (-2/3 +1)
=(3/4) x^(4/3) + 6 x^(1/3) + C

となります。