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a1=0
a2=2
an+2 -3an+1 +2an=0

の隣接三項間漸化式の解き方を教えてください。

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A 回答 (1件)

特性方程式を使うやり方が多い。


a[n+2]-3[n+1]+2a[n]=0の特性方程式をr^2 - 3r + 2=0とすると、
(r-1)(r-2)=0
r=1, 2

この結果を元に、隣接3項間漸化式 a[n+2]-3[n+1]+2a[n]=0 を式変形する。
a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n])
a[n+2]-2a[n+1]=(a[n+1]-2a[n])

b[n]=a[n+1]-a[n], c[n]=a[n+1]-2a[n]とすると、
b[n+1]=2b[n]
c[n+1]=c[n]

b[n]=b[1]×2^(n-1)=(a[2]-a[1])×2^(n-1)=2^n
c[n]=c[1]=a[2]-2a[1]=2

a[n+1]-a[n]=2^n …(1)
a[n+1]-2a[n]=2 …(2)

(1)-(2)より、
a[n]=2^n - 2=2(2^(n-1) - 1)
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