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No.1
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(1)
Iは△ABCの内心だから
∠ABI=∠IBC ・・・・・ ①
直線AB上に点Bの左側に点Pをとる
I₁は△ABCの傍心だから
∠CBI₁=∠I₁BP ・・・・・ ②
∠ABI+∠IBC+∠CBI₁+∠I₁BP=180°
①、②より
2(∠IBC+∠CBI₁)=180°
∠IBC+∠CBI₁=90°
∠IBI₁=90°
(2) 下のヒントを使う
△ABCの外接円と線分II₁との交点をDとする
∠ABI=∠IBC=α
また、Iは△ABCの内心だから
∠BAI=∠CAI=β
とする
△DIBにおいて、
△ABIで、外角の性質より
∠DIB=∠ABI+∠BAI=α+β ・・・・・ ③
弧CDに対する円周角だから
∠CBD=∠CAI=β
∠DBI=∠DBC+∠CBI=β+α ・・・・・ ④
③、④より 底角が等しいから
△DIBは二等辺三角形になり
DB=DI ・・・・・ ⑤
△DBI₁において、
∠DBI₁
=∠IBI₁-(∠IBC+∠CBD)
=90°-(α+β)
=90°-α-β ・・・・・ ⑥
△BI₁Iで、
∠DI₁B
=180°-(∠IBI₁+∠DIB)
=180°-(90°+α+β)
=90°-α-β ・・・・・ ⑦
⑥、⑦より 底角が等しいから
△DBI₁Bは二等辺三角形になり
DB=DI₁ ・・・・・ ⑧
⑤、⑧より
DI=DI₁
したがって、△ABCの外接円は線分II₁を2等分する
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