ラグランジェの未定乗数について

ある人の効用関数U=x^αy^β（ｘは余暇，ｙは所得でありα＋β＝１）および制約条件は，w(T-t-x)=y+st (wは賃金率，Ｔは自由に使える時間，ｔは交通時間
，ｓは交通１時間あたりの単価を表し，いずれも正の定数である）
（１）ラグランジェの未定乗数法でｘ，ｙを求めよ．
（２）横軸にｘ，縦軸にｗをとり（１）で得られたｘとｗの関係を示せ．ｗが大きくなると労働時間（Ｔ-t-x)はどうなるか？
（３）交通サービスが改善されｔまたはｓが小さくなると労働時間（Ｔ-t-ｘ）はどうなるか？

どなたかわかる方がいればお願いします．．．

No.3 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/02 21:36

> (２）wが大きくなると→(T-t-x)は小さくなる

　（３）sまたはtが小さくなると→(T-t-x)は小さくなる

x=(a/w){w(T-t)-st}
= a{(T-t) - st/w}
となる。
(2)ｗが大きくなると、st/wは小さくなり、-st/wは大きくなる、よってｘは大きくなる。よって、T-t-xは小さくなる。
(3)ｓまたはtが小さくなると、ｘは大きくなる。よって、T-t-xは小さくなる。

あなたの答えで合っていますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
個人的な理由で間違えるわけにはいかなかったので，確認の為質問致しました．
ありがとうございました！

お礼日時：2017/08/02 22:09

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/02 18:21

あなたの計算が正しい。

a＝1/2の場合にのみ消える。あとは質問ありませんか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．結果を整理すると，a(T-t)-x=(ast)/wなので
（２）wが大きくなると→(T-t-x)は小さくなる
（３）sまたはtが小さくなると→(T-t-x)は小さくなる
これで大丈夫でしょうか？

お礼日時：2017/08/02 19:34

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/08/02 09:13

ラグランジェ関数をLとすると

L = x^ay^b + λ[w(T-t-x) - y - st]
となる。Lをx, y, λで（偏）微分して０とおく。つまり
0 = ∂L/∂x =∂L/∂y = ∂L/∂λ
を導いたあと、最初の式と2番目の式からλを消去すると
y = wx
を得るこれを第3番目の式（制約式）に代入し、ｘを求めると
x =[ w(T-t)+st]/(2w)
となる。あとは簡単でしょう！計算過程を見せてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．
自分でやったところ，∂L/∂x=(ax^(a-1))*y^b+wλ=0，∂L/∂y=(bx^a)*y^(b-1)-λ=0なので
２つの比をとってy=(wa/b)*xなので制約条件に代入して，x=(a/w){w(T-t)-st}　になったのですがどうでしょう？

お礼日時：2017/08/02 16:03