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物理の計算においてなぜ有効数字が必要なのでしょうか?以前、別のサイトで同様の質問をさせていただいておりましたが、いまいちわからず、考えておりましたが、ふと自分なりの解釈ですが、わかりかけた感じがしました。以下に記します。

例えば、私の体重(質量m)が60.000001キロだとします。重力加速度g約9.8m/s^2とします。私の左半身の体重(自重の50%)の約70%が左足のかかと(面積を約0.01m^2とします。)にかかっているとします。左足かかとにかかる圧力Pはいくらか、という問題があったとします。

計算 (質量m)60.000001*(重力加速度g)9.8m/s^2=588.0000098N
    588.0000098*1/2*7/10=205.80000343N
    ・・・①=F(地面にかかる力)

   ①を圧力P=F(N)/S(m^2)の式に代入
   =205.80000343N/0.01(m^2)=20580.000343N/m^2(Pa)
  =205.80000343(hpa)
   有効数字2ケタにあわせ 2.1*10^2(hpa)

質問1:実際の強度や構造計算などの実測など、現実世界では10.0や15のようにちょうどぴったりとまることはなく、かつ計算方式や測定方法により必ず誤差、割り算であれば無理数・無限小数のようなものが生じる。よって、確実に信頼できる数字を、計算式の一番少ない桁にあわせ、上記のように数字を丸める作業が必要になってくる。こういう理解でよろしいでしょうか?

質問2:自分なりに調べたりする中で気になりました。例えば確実に信頼できる上位3桁の有効数字であらわすとすると、例えば・・・

 99・9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位3桁は信頼に値する数字ではな意のではないか?このような場合、有効数字はどのように考えるのでしょうか?

質問3:とりあえず論点をわかりやすくするため、立式途中有効数字は使いませんでした。私の有効数字の使い方に誤りあればご指摘くださいませ。

以上、3点、長くなりましたがよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

  • 例:0.15のは2桁の有効数字なのはなぜですか?小数点より前が0表記だからですか?

      補足日時:2017/08/03 21:37

A 回答 (4件)

>質問1



はい。そういう理解でよろしいと思います。
ただ、有効数字は、実は「計算処理上の便利な実用的な方法」であって、本当はきちんと「誤差評価」をしないといけません。でも、これは非常に面倒なので、「簡便な近似的な方法」として「有効数字」という方法を使っています。

例えば、体重が 65.3 kg 、有効数字は3桁といったときには、「誤差」という観点からいうと、 ± 0.05 kg の誤差を持っているということです。つまり、真値は
 65.3 ± 0.05 kg
の中にあるということです。

これを使って、重力加速度 9.80 m/s² から「重力」の大きさを計算すると
 (65.3 ± 0.05) × 9.80 = 639.94 ± 0.49   ①
になります。
これは、
  639.45 ~ 640.43
のどこかに「真値」があるということです。これが、①の計算結果の「確かさの範囲」ということです。
これを、学術論文などでは正確に「640 ± 0.5 N」などと書きます。
ただし、ふつうにはいちいち「± 0.5」の誤差範囲を付けて書くのは面倒なので、代表的な「1つの値」で表わさないといけません。本当は難しいのですが、「だいたい640ぐらい」ということが分かりますよね。

これを、「何となく」決めるのではなく、「計算のもとが3桁なので、結果も3桁で表わすことにして、4桁目を四捨五入する」と決めて、①の結果から
 639.94 → 640
とするのが「有効数字」の考え方です。
要するに「確かさの範囲」の「ほぼ真ん中の数値」を「計算のもとになった数値の桁数で」表わすことにしようという「取り決め」です。裏には、①に書いたような「確かさの範囲」というものがあるのです。


>質問2

>99・9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位3桁は信頼に値する数字ではな意のではないか?

これは考え方がおかしいです。上に書いたように、
 99.9999 とは、99.9999 ± 0.00005 のこと
 100.0001 とは、100.0001 ± 0.00005 のこと
なので、「最初の上位3桁は信頼に値する数字ではない」ということはあり得ません。

もし「小数以下は信用できなくて、誤差が ± 0.5 ある」というのであれば
 99.9999 の 0.9999 は誤差を含んでいて、小数点以下は 0.4999 ~ 1.4999 という「確かさの範囲」であれば、こんなに小数点以下細かく書いても「誤差ばかり」になってしまうので、「確からしい値」は小数点以下1桁目を四捨五入して
 99.9999 → 100
とすべきです。

同様に、100.0001 の「確かさの範囲」が -0.5001 ~ 0.5001 であるならば、「確からしい値」は小数点以下1桁目を四捨五入して
 100.0001 → 100
とすべきです。

つまり、「誤差が ± 0.5 」であれば、「99.9999」も「100.0001」も、「確からしい値」は「100」で同じということです。

要するに、99.9999と100.0001といったときに、その誤差はどの程度か、「確かさの範囲」はどの程度か、ということで「確からしい値」が決まるということです。


>質問3

「誤り」はありませんが、「結果」の有効数字が「2桁」と分かっているのであれば、10桁も11桁も計算するのは「無駄」なので、途中の計算は「3桁目を最終的に四捨五入するので、4桁程度で計算しておけば十分」と割り切って計算した方がよいでしょうね。
あなたの計算は、「無駄な骨折り」をしているということです。「間違い」ではありませんが、時間と能力をもっと他に使った方が有意義だということです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。「誤差評価」という観念を新たに設け、もう一度考えて見ます。

お礼日時:2017/08/03 21:35

No.2です。

「補足」に書かれたことについて。

>例:0.15のは2桁の有効数字なのはなぜですか?小数点より前が0表記だからですか?

0.15 = 1.5 * 10^(-1) = 15 * 10^(-2)
だからです。

2桁でしょう?

0.000015 も「有効数字2桁」です。

 0.000015 = 1.5 * 10^(-5)

ですから。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2017/08/04 02:38

多少、誤解があるようですね。


有効数字は、信頼できる数字を示すというよりは、どこに誤差が入っているかを示すために使います。
例えば、有効数字3桁の場合は、3桁目に誤差が入っているってことですね。
元々は、測定を行うと必ずその数値には誤差が入ってしまう事から来ているんです。

質問2の場合も同様に、「信頼できる上位3桁の有効数字」という事では無く、
有効数字3桁は、3桁目に誤差が含まれる事を表します。
ですから、99・9999と100.0001 が測定値の生データである場合、
3桁目以降に誤差が含まれるとすると、4桁目を四捨五入して、3桁の有効数字にします。
すると、99・9999≒99.99≒100   100.0001≒100.0≒100
もちろん、”100”の最後の”0”には誤差が含まれています。

多分、混乱の原因は、「有効数字」という言葉の使われ方から来ているのだと思います。
一つ目の意味は、上に書いた通りですが、もう一つの意味として、質問者さんが使っている”信頼できる数字”があります。
例えば、15.3mm が測定値だとして、誤差が0.3mm の中に入っている場合、15を信頼できる数字として、有効数字は2桁って使う場合があります。
この用法が間違っていると言うわけではないのですが、どちらの意味で使っているかを区別しないと、質問2のような混乱を引き起こします。
測定値を用いて計算する場合は、上に説明した意味で捉えるべきでしょうね。

ちなみに、質問者さんがやられている計算で「約9.8m/s^2」とありますが、
9.8を有効数字ととらえるならば、”約”は必要ありません・・・0.8に誤差が含まれている事が明示されているからです。
また、2桁に丸めて、2.1*10^2(hpa)とするのは、0.1の所に誤差が入っていて、それより小さな位(桁)の数字は(全く)信用できないからですね。
けっして、2.1が確実に信用できる数値である、という意味ではありませんので、気をつけて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。これでいえば、2.1*10^2(hpa)の小数点第一位に誤差が含まれているということになりますね。

お礼日時:2017/08/03 21:32

60.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001kg



60kg
の違いってほとんど無視できるよね。

同様に
60.000001kg

60kg
の違いもほとんど無視できるよね。
厳密には違うわけなんだけど、限りになく無視できるわけだから
 「一般には違いはないとして考える」
ことにするってこと。

円周率を3とか3.14とか3.1415927とか言うのと同じです。
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この回答へのお礼

誤差がでるから大体こんなもんだよってことですね。

お礼日時:2017/08/03 21:35

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「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
テストの点数なんてどうでもいいじゃないですか。
数学なんですから、正しければそれでいいんです。
テストの紙に「×」って書いてあっても、正しいものは正しいです。
入試とかじゃないのならば、それでいいじゃないですか。

「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
が目的ならば、追求すればいいですが、
「何が正しいのかを知りたい」
のであれば、あなたが100%正しいので、安心して、次の問題に取り組んでください。

ただ、「慣例」というものがあって、
「数学的には完全に正しいけど、記述方法として好ましくない」
というものはあります。

たとえば、文章題で、回答のはじめに
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「間違い」には出来ないと思います。

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