数字A

n!が9^9で割り切れるような自然数nのうち最小のものを求めよ。
という問題が全くわかりません。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2017/09/03 14:53

n=39・・!

間違ってたらばご容赦・・!

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2017/09/03 15:59

9^9=3^27

です。
だから求める数を仮に素因数分解したとすればそこには3^27が現れるはずだ、ということが言えます。
それを踏まえてn! について規則性を見つける。
3! を計算すれば計算式中に3の倍数が一回現れるので3^1で割りきれます。
9! を計算すれば計算式中に3の倍数が三回現れ、そのうちの一つは9の倍数です。だから3^4で割りきれます。
nを増やした時に式中に3の倍数9の倍数27の倍数がいくつになるか数えれば答えは見えてきます。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/03 16:46

n!の中に9と言う因数が9個無いと割り切れない。

また、9=3×3だから、3が27個でも良い。
3の倍数を列挙すると
3
6
9=3²
12
15
18=3²×2
21
24
27=3³
30
33
36=3²×4
39
42
45=3²×5
48
51
54
57
60
63=3²×7

ここまでで3と言う因数が27個
∴63!が3²⁷=9⁹で割り切れる

No.4 回答者： springside 回答日時： 2017/09/03 18:18

9^9=(3^2)^9=3^18なので、3が18個現れればいい。

n!の中の3の数を数えると、n=36で17個、n=39で18個なので、答は、n=39

No.5 回答者： cruelman 回答日時： 2017/09/03 19:29

No.2 ですが

計算をミスってました。
1と4の方が正解です。
失礼いたしました。

No.6 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/04 11:13

9⁹=3¹⁸だから、3と言う因数が18個必要。

3の倍数を並べると
3=3×1
6=3×2
9=3²
12=3×4
15=3×5
18=3²×2
21=3×7
24=3×8
27=3³
30=3×10
33=3×11
36=3²×4
39=3×13

ここまでで、3と言う因数が18個。

∴39!が9⁹で割り切れる

n=39