めんせき

正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣの中点をＥとする。
△ＡＥＢをＡＥで折り返したときの頂点Ｂの位置をＢ' とする。
このとき、△Ｂ' ＣＤの面積は、正方形ＡＢＣＤの面積の何倍になるか?

小学生の発想;
鏡映変換知悉者の解答;
(解説つきで願います)

No.3 回答者： あかさたなはまやらんや 回答日時： 2017/11/21 15:38

CB'の延長線を引き、その延長線上に∠DFCが90度となる点Fを取ります。

△ABEと△CFDが相似である事と、線分FCと線分B'Cの長さの比によって答えを求めます。
△ABEと△CFDにおいて、
∠ABE＝∠CFD＝90度 …①

∠AEB＝∠AEB' …❶
線分EC＝線分EB'より∠ECB'＝∠EB'C …❷
∠CEB'＝180−∠AEB−∠AEB'であり、∠CEB'＝180−∠ECB'−∠EB'C
であるから、
∠AEB＝∠ECB' …②

また、∠DCF＝90−∠ECB'であり、
∠DCF＝90−∠FDCであるから、
∠ECB'＝∠FDC …③

②③より∠AEB＝∠FDC …④
①④より△ABE∽△CFD
相似比は線分AE:線分CDにより√5:2

次に、線分FC:線分B'Cを求めますが、線分B'Cを求めるのが難しいです。
線分FC＝線分AB×(2/√5) …⑤

線分BB'を引く。
△ECB'と△ABB'において
∠CEB'＝180−∠ECB'−∠EB'C
四角形ABEB'に着目して∠BAB'＝360−180−∠AEB−∠AEB'
＝180−∠AEB−∠AEB'
❶❷②より、∠CEB'＝∠BAB' …⑥
線分EC×2＝線分AB …⑦
線分EB'×2＝線分AB' …⑧
⑥⑦⑧より△ECB'∽△ABB'
相似比は1:2

ここで四角形ABEB'の面積に着目する。
△ABEの二つ分と考えると、
(1/2)×(AB)^2 …⑨

線分BB'と線分AEの交点をGとすると、∠AGB＝90度(△ABG∽△AB'Gより)であるから、四角形ABEB'の面積はBB'×AE÷2
＝(CB'×2)×(AB×√5/2)÷2 …⑩
⑨⑩より、
(1/2)×(AB)^2＝(CB'×2)×(AB×√5/2)÷2
整理すると
CB'＝AB/√5 …丸11
⑤丸11より
FC:B'C＝2:1

以上より答えを求めると、
△ABEの面積は正方形ABCDの1/4
△DFCの面積は△ABEとの相似比より、△ABEの(2/√5)^2
△DB'Cは△DFCのB'C/FC＝1/2だから、
1/4×(2/√5)^2×(1/2)
＝1/10

No.2 回答者： diff3356 回答日時： 2017/11/21 15:26

前の方の言われるとおりと思います。

Ａを原点とする座標平面を用意し、
B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) とすると、簡単な計算でB'(3/5, 4/5) を得ますから、
三角形B'CD=(1/2)*1*(1-4/5)=1/10.
となっています。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2017/11/21 14:46

小学生では無理ではないですか。

正方形の１辺を a とします。
問題文から、BE=EB'=a/2 で、△AEB≡△AEB' になります。

又題意から、∠BEA=60° となりますから、∠B'EC=60° になります。
△B'EC と△B'AD の面積も計算できると思います。

△Ｂ’ＣＤの面積は、正方形ABCDー△AEBー△AEB'ー△B'EDー△B'AC ですから、
後は、それぞれの計算だけで、答えが出ると思います。