多変数関数の連続の問題。 次の関数の連続性を判定しなさい。 f (x. y)=xy^2/x^2＋y

多変数関数の連続の問題。

次の関数の連続性を判定しなさい。

f (x. y)=xy^2/x^2＋y ^2 (x . y)≠(0.0)
0 (x. y)=(0.0)

解答　(0. 0)以外の点では連続である。
　　　(x.y)=(0. 0)の時、
　　　|x|、|y |<=√x^2＋y^2に注意すれば、
　　　|xy^2/x^2＋y^2|<=√x^2＋y^2
よってlim(x. y)→(0. 0)xy^2/x^2＋y^2 =0=f (0.0)で、(x. y)=(0.0) でも連続になる。

この問題の特に解答3～4行目が理解できません。分かる人教えてください。ちなみに、x^2＋y^2のルートは全体にかかっています。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/12/03 09:54

まず、質問に答える前に質問者に注意しておきたいことがあります。

質問者はテキストで式を書く際に意味も考えずにただ書き写しているのでしょうが、一度自分で見直して見ましたか?

xy^2/x^2＋y ^2
この式で分母は何でしょうか。この式の分母は"x^2"です。"x^2+y^2"とはみなせません。
割り算"/"は足し算"+"よりも優先順位が高い。ですから/が+よりも先に実行するため分母は1項目までとしか読めません。

分母を"x^2+y^2"にするためには必ず()をつけて
xy^2/(x^2+y^2)
と書くようにすること。質問者は勝手にルールを決めていますがそんなことは許されません。

同様に√がかかるのは1項目までですので√x^2+y^2は(x^2)+y^2と解釈されます。
この場合も()をつけ、√(x^2+y^2)と書くように。

数学は規則・定義をおろそかにすると意味を成さない学問です。空気を読め、などということは一切通用しません。

では、質問にお答えします。
xy≠0において
0<|xy^2/(x^2+y^2)|=|x||y^2|/(x^2+y^2)
≦√(x^2+y^2)*|y^2|/(x^2+y^2) |x|≦√(x^2+y^2)
≦√(x^2+y^2)*{√(x^2+y^2)}^2/(x^2+y^2) |y^2|≦{√(x^2+y^2)}^2
=√(x^2+y^2)
となります。後ははさみうち。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。分母のカッコを付けるのをこれから気を付けたいと思います。

お礼日時：2017/12/05 16:58