係数に虚数を含む2次方程式で、iについて整理して、複素数の相等を利用するのはなぜですか？高1です！

Question

係数に虚数を含む2次方程式で、iについて整理して、複素数の相等を利用するのはなぜですか？
高1です！    これをすることで何を求めたいのですか？

この解法を使っていた問題としては

xの2次方程式
(1+i)x^2+(a-i)x+2(1-ai)=0
が実数解を持つとき、実数aを求め、その時の解を全て求めよ。

です！

majimelon37 · Accepted Answer

(1+i)x^2+(a－i)x+2(1－ai)=0＿＿(1)
の方程式でaが実数、xが実数解の時は、左辺をiの付かない項と、iの付く項に分けて書くと
x^2+ax+2+i(x^2－x－2a)=0＿＿(2)
x^2+ax+2は式(1)の実数部、x^2－x－2aは式(1)の虚数部であることが解ります。これが0ということは、実数部も虚数部も0で、0=0+0iですから
x^2+ax+2=0＿＿(3)
x^2－x－2a=0＿＿(4)
が成り立ちます。これを連立方程式として解く。式(3)から式(4)を引くと
ax+x+2+2a=0
(a+1)(x+2)=0＿＿(5)
a=－1またはx=－2が問題の解となる必要条件です。
a=－1の時は、これを(3)(4)に入れると、
(3)はx^2－x+2=0＿＿(6)
(4)もx^2－x+2=0＿＿(7)
となり、xの実数解はない。
x=－2の時は、これを(3)(4)に入れると、
(3)は4－2a+2=0＿＿(8)
(4)も4+2－2a=0＿＿(9)
となり、a=3となる。これを(1)に入れると
(1+i)x^2+(3－i)x+2(1－3i) =0＿＿(10)
となる。x=－2は(10)の解であることは容易に確かめられる。
(10)を(x+2)で割ると((1+i)x+(1－3i))=0となるので、xのもう一つの根は、
x=－(1－3i)/(1+i)=－(1－3i)(1－i)/2=－2+2i
結局、答えはa=3で二つの根はx=－2, －2+2iとなる。
何を求めたいのですか。＞答えとなる条件式(5)を求めたい。
複素数の相等ということ＞abcdが実数として、二つの複素数a+biとc+diが等しいとはa=c,b=dで定義です。

konjii · Answer

式(1+i)x^2+(a-i)x+2(1-ai)=0が実数解を持つ条件はx^2 + ax + 2 = 0・・・①とx^2 - x - 2a = 0・・・②です。①は式の実数部、②は虚数の係数です。①のｘが実数になる条件はー２√２≧a、a≧２√２です。②はｘに関係なくゼロです。

kairou · Answer

実際の計算手段としては、与式のまま i について整理すると計算が煩雑になる事が多いので、
x² の係数が実数になる様に変形します。（ルート計算での分母の有理化と同じ発想です）
与式の両辺に (1ーi) を掛けます。その後 i について整理します。
（この操作が、「複素数の相等」と云うのでしょうか。）
実数解を持つためには、i の係数が 0 でなければなりませんので、f(x)+pi=0 で p=0 となる必要があります。
で、残りの f(x) は x の２次関数ですので、判別式が 0 以上で時数解がある事になります。
尤も、この問題では実際の解を求める必要がありますから、因数分解か解の公式を使うのが良いでしょう。

stomachman · Answer

ご質問にある方程式
　　(1+i)x^2+(a-i)x+2(1-ai)=0
の右辺の「0」は「実部も虚部も0である複素数」という意味ですよね。「実部も虚部も0である」とは、「実部が0で、かつ、虚部が0である」ということ。
　この問題ではxとaが実数に限定ですから、実部と虚部に分けて、それぞれの方程式を並べた
　　x^2 + ax  + 2 = 0
　　x^2 - x - 2a = 0
という連立方程式と等価です。上の式が「実部が0」、下のが「虚部が0」という条件を表している。「両方を満たせ」というんですから、連立方程式です。これら二つの式には複素数が入っておらず、従ってこれらの右辺の「0」は実数の0そのもの。

xが実数に限定されていない場合、実部と虚部それぞれの方程式をならべた連立方程式にするのは、ちょっとめんどくさい。複素数の未知数xを実数で表すために
　　x = u + iv　(u,vは実数）
と置き換えれば、
　　(1+i)(u + iv)^2 + (a-i)(u + iv) + 2(1-ai) = 0
ですから、これを展開してから、実部と虚部に分けて連立方程式にすることになる。やってみてくださいな。で、最後にv=0を代入すれば、上記の連立方程式（ただしxがuに変わる）になるはずですよね。

kairou · Answer

与式が実数解を持つためには、f(x)+pi=0 の形に変形する必要があります。
つまり、展開して i について整理する必要があります。
そして、p=0 で、且つ f(x) の判別式が 0 以上になる事ですね。

「複素数の相等」を利用しなくても、答えが出れば良いです。
そのまま、判別式や因数分解を使っても良いですが、
複素数を含む式はかなり大変です。

Tacosan · Answer

「相等」は「等しいこと」を表す一般的な表現＞#1.

そして本題としては「その方が簡単だから」くらい. 可能なら他の方法を使っても構わない.

hitonomichi36 · Answer

相等？
意味分からん。

係数に虚数を含む2次方程式で、iについて整理して、複素数の相等を利用するのはなぜですか？ 高1です！

(1+i)x^2+(a－i)x+2(1－ai)=0＿＿(1)

式(1+i)x^2+(a-i)x+2(1-ai)=0が実数解を持つ条件はx^2 + ax + 2 = 0・・・①とx^2 - x - 2a = 0・・・②です。

実際の計算手段としては、与式のまま i について整理すると計算が煩雑になる事が多いので、

ご質問にある方程式

与式が実数解を持つためには、f(x)+pi=0 の形に変形する必要があります。

「相等」は「等しいこと」を表す一般的な表現＞#1.

相等？

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

係数に虚数を含む2次方程式で、iについて整理して、複素数の相等を利用するのはなぜですか？高1です！