数学の問題です 青チャートの問題です

ｘｙ平面上に２点(３、２)、Ｂ(８、９)がある。点Ｐが直線ｌ：ｙ＝ｘ－３上を動くとき、ＡＰ＋ＰＢの最小値とそのときの点Ｐの座標を求めよ

この問題なのですが、私は点Pを（a,a-3)と置いて、
PA^2+PB^2を求めようとして、(a-3)^2+(a-5)^2+(a-8)^2+(a-12)^2を解こうとして整理すると、4(a-7)^2+48になったので、最小値は4√3にしたのですが、答えとあいません
私はどこで間違ったのでしょうか？
よろしくお願いします

No.5 ベストアンサー 回答者： akeshigsb 回答日時： 2018/04/18 14:47

元塾講師です。

　ＡＰ＋ＰＢの最小値の時のPの値と、ＡＰ^2＋ＰＢ^2の時の最小値の値の時のPの値は同一になるとは限りません。例えば、ＡＰ＋ＰＢ＝４である場合、AP＝２、BP=２の時とAP＝３、BP=１の時が答えだとすると、ＡＰ＋ＰＢは共に４ですがＡＰ^2＋ＰＢ^2の時は前者は８ですが、後者は１０となり、ＡＰ^2＋ＰＢ^2を使って、ルートでくくれば今回の答えが出るとは限りません。
　少し話がそれるかもしれませんがＡＰ＋ＰＢを考える場合、ABを一辺とした△ABPを考え、ＡＰ＋ＰＢが最小になるのは⊾APBが限りなく広くなる場合であり、今回のように直線状を移動する場合は
△ABPを正三角形を基準に多少直線の制約を受ける状態で変形するような形なります。
　一方、ＡＰ^2＋ＰＢ^2は⊾APBが直角な直角三角形を考え、今回ではABの中点を中心とし半径もABの半分の長さのものになります。その円と直線の交点が求めるものになります。
ご参考までに

No.4 回答者： ΔヒータΔ 回答日時： 2018/04/18 04:31

PA^2+PB^2を求めた後にルートをつけると、

√PA^2+PB^2　になってしまいます。
正しくは、√PA^2 + √PB^2　です。
実際に値を入れて考えてみましょう。
PA=2、PB=3とすると、
√PA^2+PB^2=√13
√PA^2 + √PB^2=5

No.3 回答者： cruelman 回答日時： 2018/04/18 04:29

AP^2+BP^2で考えようとしている時点で間違い。

APとBPの積が一定であれば、それでもいいのだけれどこの問題ではそうは言えない。
一般論としてはAP+BPが最小になるPとAP^2+BP^2が最小となるPは一致しません。

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2018/04/18 04:25

数字をいじるだけでなく、実際にグラフに描いてみましょう。

そのうえで考えると良いと思います。

何の計算を行っているのかを理解していれば、自身で問題点を見つける事ができますよ。
がんばれ。

No.1 回答者： ΔヒータΔ 回答日時： 2018/04/18 04:15

AP+PB=√(a-3)^2+(a-5)^2　+　√(a-8)^2+(a-12)^2

かな。aがうまく処理できなくて、計算できないと思います。
これは川で水を汲みながら最短でA→Bに行くという有名な問題があります。
Bの直線lに対する対称な点B'を導き、AB'を求めることでAP+PBの最短距離がわかります。(3√10かな？)

この回答へのお礼

２乗してるのでルートを外しています
あとでつけているつもりなのですが、私は計算できたつもりなのですが、これどこで間違えたのでしょうか？
原理的には求められますよね？

お礼日時：2018/04/18 04:20