無限大にしてから積分するのと、積分してから無限大にするのって同じですか？

無限大にしてから積分するのと、積分してから無限大にするのって同じですか？

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/05/21 10:42

http://www-mmds.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/faculty …

いいえ、違います。

「ルベーグの優収束定理」を満たすのであれば、交換可能です。

詳しいことはここに書ききれないので全て省略します。σ-加法族、集合論などを学習する必要がありますからね。

http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/rubekogi …

『可測集合の定義は省略するが、とにかく、この集合は色々な集合を含んでいる。例えば、開集合、閉集合、その共通部分、和集合、差集合など、すべて含む。』

あなたの例では、

Ω=[0,π/5]は可測集合なので、この可測集合上で任意のnに対して|(tanx)^n|<g(x)を満たす、g(x)を探すとg(x)=1となり、[0,π/5]でg(x)=1を積分すると、π/5<+∞となります。

なので、ルベーグの優収束定理より、積分と極限が交換可能なわけです。

（他の回答者様へ：一応調べて書きましたが、誤りがあればご指摘お願いします。）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

変換可能なときと可能じゃないときがあるので、基本的に順番を変えないで計算しないといけないということですね！

お礼日時：2018/05/22 18:15

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/05/21 10:12

一般的には、同じではありません。

なので、「積分する」という操作と、「何かを無限大にしたときの挙動を調べる」という操作は、問題の指示通りにしなければならず、順序を変えてはいけません。(順序を変えてもいい場合もあるのですが、ややこしいので、敢えて触れません)

この回答へのお礼

簡潔に回答していただきありがとうございます。
高校の範囲では順番通りに計算しないといけないということですね！

お礼日時：2018/05/22 18:16