x^4+x^2+1=を解説付きで解いてください。お願いします

x^4+x^2+1=を解説付きで解いてください。お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/01 00:13

x^4+x^2+1=0＿＿①　を解け。

x^2=t＿＿②
と置くと、①は③となり、2次方程式となる。
t^2+ｔ+1=0＿＿③
③を2次方程式の解の公式を使って解くと
ｔ=(－1±√(1－4))/2=(－1±(√－3))/2=(－1±ｉ√3)/2＿＿④
xは複素数となるので、x=a+ｉb＿＿⑤とすると
複号±を+とした場合、②と④から
x^2=(a+ｉb)^2
=a^2－b^2+ｉ2ab=(－1+ｉ√3)/2＿＿⑥
⑥の左辺と右辺で、それぞれ実数部と虚数部が等しくなるために
a^2－b^2=－1/2，ｉ2ab=ｉ√3/2，2ab=√3/2＿＿⑦
⑦の第3式からｂを求めて⑧となる。
b＝√3/4a＿＿⑧
⑦の第1式に⑧を入れると⑨となる。⑨からaを求める。
a^2－(√3/4a)^2=－1/2＿＿⑨
a^4－(√3/4)^2=(－1/2)a^2
a^4+(1/2)a^2－3/16=0
16a^4+8a^2－3=0＿＿⑩
これはa^2の2次方程式だから、2次方程式の解の公式を使って解くと
a^2=(－8±√(8^2－4･16(－3)))/(2･16)
=(－8±√(64+64(3)))/(2･16)
=(－1±2)/4＿＿⑪
a^2=1/4または－3/4。－3/4は適しない。
a=±1/2＿＿⑫
⑫のaを⑧に入れると⑬となる。
b＝±√3/2＿＿⑬
これらを⑤に入れると
x＝(1+ｉ√3)/2または－(1+ｉ√3)/2＿＿⑭
式④で複号±を－とした場合は、式⑥は共役複素数に変わるので、
⑭も共役複素数になる。xの解は次の4通りになる。
x＝(1+ｉ√3)/2，－(1+ｉ√3)/2，(1－ｉ√3)/2，－(1－ｉ√3)/2＿＿⑮

追加の解説
式①にx^2－1をかけると(x^2－1)(x^4+x^2+1)=x^6－1=0＿＿⑯
x^n－1=0を分円方程式といい、単位円の円周をｎ等分した点が解となる。
(cosθ+ｉsinθ)^n= cos nθ+ｉsin nθをド・モアブルの公式という。
θ=2π/nとして、ｘ= cosθ+ｉsinθとおくと
x^n= cos nθ+ｉsin nθ= cos 2π+ｉsin 2π=1
n=6のときは、図の単位円を6等分した点の6角形が解となる。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/06/30 12:52

極めて簡単だから、自分で考えたら？

ヒントは、x⁴+x²+1=(x⁴+2x²+1)-x²ということ。

で、x=(±1±√3i)/2　（複号任意[複号同順ではない]。なお、iは虚数単位で√-1）