数学 a＞0のとき、 x≦-(2a-1)/aという不等式で、 1≦x≦3において、この不等式が成り立

数学

a＞0のとき、

x≦-(2a-1)/aという不等式で、

1≦x≦3において、この不等式が成り立つとき、

-(2a-1)/a≧3、になるのですが、

なぜこのようになるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/14 01:36

a＞0のとき、

x≦-(2a-1)/a＿①という不等式で、
1≦x≦3において、この不等式が成り立つとき、
-(2a-1)/a≧3＿②、になることを証明する。

a＞0のとき、①の両辺にaをかけると
ax≦-(2a-1)
ax+2a≦1
a(x+2)≦1
a≦1/(x+2) ＿③
1≦x≦3において③が成り立つとき、
a≦1/5＿④
一方、②の両辺にaをかけると
-(2a-1)≧3a＿⑤
1≧5a＿⑥
1/5≧a＿⑦
⑦は④と同じだから成立する。⑦から⑥⑤と逆順に変形すると②が成り立つ。

別解　1≦x≦3において、式①が成立するならば、x=3のとき、⑧が成り立つ。
x≦-(2a-1)/a＿①
3≦-(2a-1)/a＿⑧
⑧の左辺と右辺を入れ替えて掛けば、②となる。
-(2a-1)/a≧3＿②

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/01/07 18:47

x≦-(2a-1)/a　⇔　a x + (2a - 1) <= 0

これは直線の方程式ですね。（2 a - 1 = b と置換しても良い）

さて、ここまでヒントを出したので
① a > 0
② a = 0
③ a < 0
それぞれの場合について、1≦x≦3において a x + (2a - 1) <= 0 が成り立つ条件を考えてみましょう。