2次不等式の問題で ある実数Xに対して、 すべての実数に対して、 2つの違いを教えてください

2次不等式の問題で
ある実数Xに対して、
すべての実数に対して、
2つの違いを教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/07 14:57

「ある実数 ｘ に対して、与えられた不等式が成り立つ」は、

「与えられた不等式が成り立つような実数 x が存在する」とも言い換えられます。
数学独特の言い廻しで、慣れないと違和感のある日本語ですね。
例えば、不等式 x^2-1>0 は、x=2 のとき成立します。
ある実数 ｘ に対して、x^2-1>0 が成り立ったわけです。
x=0 のときは x^2-1>0 は成立しませんが、それは
「ある実数ｘに対して、x^2-1>0 が成り立つ」かどうかには影響しません。
x^2-1>0 が成り立つような実数 x が存在するかどうか
だけが関心事で、実際 x=2 が存在するからです。

「すべての実数 x に対して、与えられた不等式が成り立つ」は、
普通の日本語の意味どおりです。
例えば、不等式 x^2+1>0 は、すべての実数 x で成立しています。

「ある実数 x に対して成り立つ」と「すべての実数 x に対して成り立つ」の間には、
「ある実数 x に対して、f(x)>0 が成り立つ」と
「すべての実数 x に対して、f(x)≦0 が成り立つ」とが同じ意味、
「すべての実数 x に対して、f(x)>0 が成り立つ」と
「ある実数 x に対して、f(x)≦0 が成り立つ」とが同じ意味だという関係があります。
f(x)>0 が成立するような x が在るか無いかの話なんだと理解してください。

No.2 回答者： math男 回答日時： 2019/07/07 15:18

somethingとanything

みたいなものです。