y＝x^2-4ax-3a-2がある。ただし0<a<1とする。 このグラフの頂点を求めよ -2≦x≦2

y＝x^2-4ax-3a-2がある。ただし0<a<1とする。
このグラフの頂点を求めよ


-2≦x≦2における最大値Mと最小値mをa用いて表せ

またM-m＝8を満たすaの値を求めよ

この問題を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/18 12:42

y＝x^2-4ax-3a-2=(x-2a)²-4a²-3a-2

だから、グラフの頂点は(2a,-4a²-3a-2)

次の問題は、-2≦x≦2の区間内で考えろという事（下図のx=-2の赤ラインから、x=2の赤ラインまでの区間だけを見るという事：図はおおよその目安で必ずしも正確ではありません）
このグラフの頂点のx座標は、前に求めた通り2a
この問題文に「ただし0<a<1とする」とあるから
0<a<1の全体を2倍して0<2a<2
このことから、グラフの頂点のx座標は０より大きく2より小さいことになる（x=0のライン：y軸からx=2の赤ラインの間に頂点があることになる・・・頂点の位置は下図の通り）

したがってグラフから最大値となるのは（グラフが最も高くなるのは）
x=-2のときで、M=y(max)=(-2)^2-4a・(-2)-3a-2=5a+2
また最小値となるのは（グラフが最も低くなるのは）頂点（x=2a)で
m=y(min)=-4a²-3a-2　(←←←頂点(2a,-4a²-3a-2)のy座標を使うのが早い)

最後の問題は
M-m=(5a+2)-(-4a²-3a-2)=4a²+8a+4=8を満たすaを求めよという事
⇔4a²+8a-4=0
⇔a²+2a-1=0
解の公式で
a=-1±√(1+1)=-1±√2
ただし0<a<1なので
答えはa=-1+√2

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/01/18 22:48

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2019/01/18 07:33

y=f(x)=x^2-4ax-3a-2

平方完成して
f(x)=(x-2a)^2-4a^2-3a-2
https://mathtrain.jp/jikutyoten
従って頂点の座標は
(2a,-4a^2-3a-2)

0<a<1より放物線の軸は0<x<2の間を動く
-2≦x≦2で放物線は下に凸なので、
最大値は軸が2に最も近づいた時のx=-2の値
従って
M=f(-2)=5a+2

最小値は頂点のy座標
従って
m=-4a^2-3a-2

M-m=4x^2+8a+4=8
4a^2+8a-4=0
a^2+2a-1=0
解の公式から
a=-1±√2
0<a<1から
a=√2-1