ドコモユーザーなら、ドコモ光が断然おトク

次の3問がわかりません。教えていただけると幸いです。

「数学について。」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    (3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか?教えていただけると幸いです。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/02/11 20:09
  • 画像を添付する (ファイルサイズ:10MB以内、ファイル形式:JPG/GIF/PNG)
  • 今の自分の気分スタンプを選ぼう!
あと4000文字

A 回答 (8件)

No.1~3 です。

ああ、そうなんだ。

#1 に書いた

>「3」は「1の虚数立方根を~」とあるので、説明しようがありません。

の「1」は、画像の範囲外にある「問1」のことを指しているものと考えてのことです。
そうではなく「複素数 1」ということなのですね。
勘違いしていました。すみません。

その場合には、複素数を極形式で表わして、k を整数として

 1 = cos(2kパイ) + i*sin(2kパイ)

として、この立方根を

 ω = cos[(2/3)kパイ] + i*sin[(2/3)kパイ]

とするということですね。

そうすれば
 ω^n = cos{[(2/3)k * n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * n]パイ}
    = cos[(2/3)knパイ] + i*sin[(2/3)knパイ]
 ω^2n = cos{[(2/3)k * 2n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * 2n]パイ}
    = cos[(4/3)knパイ] + i*sin[(4/3)knパイ]
なので
 ω^2n + ω^n + 1
= cos[(4/3)knパイ] + cos[(2/3)knパイ] + 1 + i*{sin[(4/3)knパイ] + sin[(2/3)knパイ] }
= 2cos{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} + 1 + i*( 2sin{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} )
= 2cos[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ] + 1 + 2i*sin[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ]

これより、n が3の倍数かどうかで場合分けをしているのです。「n が3の倍数」なら、
・k が偶数のとき
 cos[knパイ] = 1, cos{[(1/3)knパイ] = 1
・k が奇数のとき
 cos[knパイ] = -1, cos{[(1/3)knパイ] = -1
・sin[knパイ] = 0
であり、
 ω^2n + ω^n + 1 = 3
です。

n が3の倍数ではないときには
 cos[knパイ] = 1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = -1/2
または
 cos[knパイ] = -1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = 1/2
なので実数項は常に 0
かつ
 sin[knパイ] = 0
なので実数項は常に 0
ということで
 ω^2n + ω^n + 1 = 0
です。
    • good
    • 0

No.4です。

補足です。

このωに関しては、

ω^1=ω
ω^2=ω^2
ω^3=1

ω^4=ω^3・ω=ω
ω^5=ω^3・ω^2=ω^2
ω^6=ω^3・ω^3=1

ω^7=ω^3・ω^3・ω=ω
ω^8=ω^3・ω^3・ω^2=ω^2
ω^9=ω^3・ω^3・ω^3=1

というふうに、指数が周期3で循環する性質があります。だから、指数が3の倍数かどうか(厳密には3で割った余り)で着目しているのです
この「ω^nは周期3で循環する」という性質は、必ず記憶しておくべきものです。
    • good
    • 0

n が3の倍数ならω^nは 1 なので与式=3 になりますよね。


n が3の倍数出ない場合ω^n は
{-1-i√3}/2 か {-1+i√3}/2 のどちらかであり、それを2乗すると他方になるので与式=0 となるでしょう。
    • good
    • 0

3.


ω={-1±i√3}/2,
ω²={-1∓i√3}/2,
ω³=1
であることから、
n が3の倍数の場合は 3
それ以外なら 0

5.
a/b≦c/d
両辺に bd (>0) をかけても不等号の向きは変わらないので
ad≦bc
ad-bc≦0

a/b-(a+c)/(b+d)
={a(b+d)-(a+c)b}/b(b+d)
=(ad-bc)/(b+d)b≦0

(a+c)/(b+d)-c/d
={(a+c)d-c(b+d)}/(b+d)d
=(ad-bc)/(b+d)d≦0
    • good
    • 0

>>(3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか?教えていただけると幸いです。


って、(3)ではなく、「3.」のこと?

であれば、ωは1の(虚数の)立方根だから、ω³=1になる。
だから、指数の部分が3の倍数か否かで分類するのが正しいやり方。

つまり、n=3k(kは整数)なら、ω^n=ω^(3k)=(ω^3)^k=1^k=1 ※1
n=3k+1なら、ω^n=ω^(3k+1)=ω^(3k)・ω=1・ω=ω ※2
n=3k+2なら、ω^n=ω^(3k+2)=ω^(3k)・ω^2=1・ω^2=ω^2 ※3

なので、ω^(2n)は、
n=3kなら、ω^(2n)=(ω^n)^2=1^2=1 (∵※1)
n=3k+1なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=ω^2 (∵※2)
n=3k+2なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=(ω^2)^2=ω^4=ω^3・ω=ω (∵※3、ω^3=1)

さて、ωは1の虚数立方根だから、
x³=1、つまり(x-1)(x²+x+1)=0の虚数解なので、x²+x+1=0を満たす。すなわち、ω²+ω+1=0である。

上記を踏まえ、
n=3kなら、与式=1+1+1=3
n=3k+1なら、与式=ω^2+ω+1=0
n=3k+2なら、与式=ω+ω^2+1=0
    • good
    • 0

No.1&2 です。

「補足」に書かれた

>(3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか?教えていただけると幸いです。

は意味不明です。
画像が違っている?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

3番の問題です。解答に、nが、3の倍数でないときは、0,nが、3の倍数の時は、3というのがわかりません。教えていただけると幸いです。解答に、そうかかれているのですが、実際に確かめるしかないのでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/02/11 21:07

ついでに「5」は


 a/b ≦ c/d
より、a, b, c, d は正であるから
 ad ≦ bc   ①

従って、両辺に ab を加えて
 ad + ab ≦ bc + ab
→ a(b + d) ≦ b(a + c)
a, b, c, d は正であるから
 a/b ≦ (a + c)/(b + d)   ②

同様に、①の両辺に cd を加えて
 ad + cd ≦ bc + cd
→ d(a + c) ≦ c(b + d)
a, b, c, d は正であるから
 (a + c)/(b + d) ≦ c/d   ③

②③より
 a/b ≦ (a + c)/(b + d) ≦ c/d
    • good
    • 0

「次の3問」ってどれ?



「問題3」ではないよね。「3」は「1の虚数立方根を~」とあるので、説明しようがありません。

「4」の (1)~(3) のことを指していますか? だったらそう明記しないと。

(1) は(a)  a>0 → a^2>0 であるが、a^2>0 → a>0 ではない。a<0 でもよいから。
(2) は(b)  a=b=0 → a+b=0 であるが、a+b=0 → a=b=0 ではない。a=-b であればよいから。
(3) は(c)
 a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca
= (1/2)a^2 - ab + (1/2)b^2 + (1/2)b^2 - bc + (1/2)c^2 + (1/2)c^2 - ca + (1/2)a^2
= (1/2)[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ]
= 0
なので。
この回答への補足あり
    • good
    • 0
この回答へのお礼

3番、4番、5番です。教えていただけると幸いです。3番は、どうすればよいのでしょうか?教えていただけると幸いです。

お礼日時:2019/02/11 20:07

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング

おすすめ情報