A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
No.1~3 です。
ああ、そうなんだ。#1 に書いた
>「3」は「1の虚数立方根を~」とあるので、説明しようがありません。
の「1」は、画像の範囲外にある「問1」のことを指しているものと考えてのことです。
そうではなく「複素数 1」ということなのですね。
勘違いしていました。すみません。
その場合には、複素数を極形式で表わして、k を整数として
1 = cos(2kパイ) + i*sin(2kパイ)
として、この立方根を
ω = cos[(2/3)kパイ] + i*sin[(2/3)kパイ]
とするということですね。
そうすれば
ω^n = cos{[(2/3)k * n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * n]パイ}
= cos[(2/3)knパイ] + i*sin[(2/3)knパイ]
ω^2n = cos{[(2/3)k * 2n]パイ} + i*sin{[(2/3)k * 2n]パイ}
= cos[(4/3)knパイ] + i*sin[(4/3)knパイ]
なので
ω^2n + ω^n + 1
= cos[(4/3)knパイ] + cos[(2/3)knパイ] + 1 + i*{sin[(4/3)knパイ] + sin[(2/3)knパイ] }
= 2cos{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} + 1 + i*( 2sin{[(4/3)knパイ + (2/3)knパイ]/2} * cos{[(4/3)knパイ - (2/3)knパイ]/2} )
= 2cos[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ] + 1 + 2i*sin[knパイ] * cos{[(1/3)knパイ]
これより、n が3の倍数かどうかで場合分けをしているのです。「n が3の倍数」なら、
・k が偶数のとき
cos[knパイ] = 1, cos{[(1/3)knパイ] = 1
・k が奇数のとき
cos[knパイ] = -1, cos{[(1/3)knパイ] = -1
・sin[knパイ] = 0
であり、
ω^2n + ω^n + 1 = 3
です。
n が3の倍数ではないときには
cos[knパイ] = 1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = -1/2
または
cos[knパイ] = -1 かつ cos{[(1/3)knパイ] = 1/2
なので実数項は常に 0
かつ
sin[knパイ] = 0
なので実数項は常に 0
ということで
ω^2n + ω^n + 1 = 0
です。
No.7
- 回答日時:
No.4です。
補足です。このωに関しては、
ω^1=ω
ω^2=ω^2
ω^3=1
ω^4=ω^3・ω=ω
ω^5=ω^3・ω^2=ω^2
ω^6=ω^3・ω^3=1
ω^7=ω^3・ω^3・ω=ω
ω^8=ω^3・ω^3・ω^2=ω^2
ω^9=ω^3・ω^3・ω^3=1
というふうに、指数が周期3で循環する性質があります。だから、指数が3の倍数かどうか(厳密には3で割った余り)で着目しているのです
この「ω^nは周期3で循環する」という性質は、必ず記憶しておくべきものです。
No.6
- 回答日時:
n が3の倍数ならω^nは 1 なので与式=3 になりますよね。
n が3の倍数出ない場合ω^n は
{-1-i√3}/2 か {-1+i√3}/2 のどちらかであり、それを2乗すると他方になるので与式=0 となるでしょう。
No.5
- 回答日時:
3.
ω={-1±i√3}/2,
ω²={-1∓i√3}/2,
ω³=1
であることから、
n が3の倍数の場合は 3
それ以外なら 0
5.
a/b≦c/d
両辺に bd (>0) をかけても不等号の向きは変わらないので
ad≦bc
ad-bc≦0
a/b-(a+c)/(b+d)
={a(b+d)-(a+c)b}/b(b+d)
=(ad-bc)/(b+d)b≦0
(a+c)/(b+d)-c/d
={(a+c)d-c(b+d)}/(b+d)d
=(ad-bc)/(b+d)d≦0
No.4
- 回答日時:
>>(3)は、なぜ、nが、3の倍数と、そうでない場合に分けているのでしょうか?教えていただけると幸いです。
って、(3)ではなく、「3.」のこと?
であれば、ωは1の(虚数の)立方根だから、ω³=1になる。
だから、指数の部分が3の倍数か否かで分類するのが正しいやり方。
つまり、n=3k(kは整数)なら、ω^n=ω^(3k)=(ω^3)^k=1^k=1 ※1
n=3k+1なら、ω^n=ω^(3k+1)=ω^(3k)・ω=1・ω=ω ※2
n=3k+2なら、ω^n=ω^(3k+2)=ω^(3k)・ω^2=1・ω^2=ω^2 ※3
なので、ω^(2n)は、
n=3kなら、ω^(2n)=(ω^n)^2=1^2=1 (∵※1)
n=3k+1なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=ω^2 (∵※2)
n=3k+2なら、ω^(2n)=(ω^n)^2=(ω^2)^2=ω^4=ω^3・ω=ω (∵※3、ω^3=1)
さて、ωは1の虚数立方根だから、
x³=1、つまり(x-1)(x²+x+1)=0の虚数解なので、x²+x+1=0を満たす。すなわち、ω²+ω+1=0である。
上記を踏まえ、
n=3kなら、与式=1+1+1=3
n=3k+1なら、与式=ω^2+ω+1=0
n=3k+2なら、与式=ω+ω^2+1=0
No.2
- 回答日時:
ついでに「5」は
a/b ≦ c/d
より、a, b, c, d は正であるから
ad ≦ bc ①
従って、両辺に ab を加えて
ad + ab ≦ bc + ab
→ a(b + d) ≦ b(a + c)
a, b, c, d は正であるから
a/b ≦ (a + c)/(b + d) ②
同様に、①の両辺に cd を加えて
ad + cd ≦ bc + cd
→ d(a + c) ≦ c(b + d)
a, b, c, d は正であるから
(a + c)/(b + d) ≦ c/d ③
②③より
a/b ≦ (a + c)/(b + d) ≦ c/d
No.1
- 回答日時:
「次の3問」ってどれ?
「問題3」ではないよね。「3」は「1の虚数立方根を~」とあるので、説明しようがありません。
「4」の (1)~(3) のことを指していますか? だったらそう明記しないと。
(1) は(a) a>0 → a^2>0 であるが、a^2>0 → a>0 ではない。a<0 でもよいから。
(2) は(b) a=b=0 → a+b=0 であるが、a+b=0 → a=b=0 ではない。a=-b であればよいから。
(3) は(c)
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca
= (1/2)a^2 - ab + (1/2)b^2 + (1/2)b^2 - bc + (1/2)c^2 + (1/2)c^2 - ca + (1/2)a^2
= (1/2)[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ]
= 0
なので。
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