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テストに出た問題が分からないです....。

中学3年生です。今更学年末テストの復習しているのですが、この問題がわかりません。
△ABF∽△CEFです。

Q.線分CFの長さを求めよ。→6
Q,AE:AFを最も簡単な整数の比で答えよ。→3:8
です。このような問題に弱くて、両方とも答えが全く出てきません。というよりも、どのように考えれば良いのかわかっていないかもしれませんが....。
教えていただけると嬉しいです。お願いします:(;゙゚'ω゚'):

「テストに出た問題が分からないです....」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • へこむわー

    このようなこともを考えたのですが、これらは答えを出すのには使いませんかね?
    長さを求める方法として合ってるのか不安ですが.....
    CFの長さってのは、AB:CF=...みたいな比例式(?)から求めるのでしょうか、謎です、...

    「テストに出た問題が分からないです....」の補足画像1
      補足日時:2019/03/24 01:49
gooドクター

A 回答 (4件)

いいよいいよ


いろいろいいですね。

学年末の復習
いいですね。

わからないとこをなんとかクリアしようと
いいよ。

補足のとこ
いいよ。
気になる箇所△ABCを抜き出して
見やすくして思考する
いいよ。

角の二等分線というヒントから
比をさぐるの
高校でも役立つ
いいね。

なるほど
三平方の定理を使って
4√2を導いたのですね
いいね。

数学も人生も
みつける答えへの道のりは
誰もが違っていい。

0.
導いた4√2を利用して
AE : AFを考えます

・ Aから降ろされた4√2とBCとの交点をGとおき
△AGFをみて
さらに三平方の定理より
AF² = AG² + GF²
AF² =(4√2)² + (2 + 6)²
= 32 + 64
= 96
AF>0より
AF = √96
『 AF =4√6』

・ さらに
△ABF∽△CEFより
AF : CF = BF : EFなので
4√6 : 6 = 10 : EF
4√6EF = 60
EF = 60 /4√6
= 15 /√6
[分母を有理化, 分母分子に√6をかける]
EF = 15√6 /(√6×√6)
=(15√6) /6
AE=AF - EF
AE =4√6 - (15√6) /6
=(24√6) /6 - (15√6) /6
=(9√6) /6
『AE =(3√6) /2』

・ AE : AF = (3 √6) /2 : 4√6
[簡単な整数比に]
[×2]
AE : AF = 3√6 : 8√6
[×1 /√6]
『AE : AF = 3 : 8』

ほかにも方法はあります

・ あなたが「導いた4√2」からAF=4√6を利用して
△CAF∽△ECAより

・ また違う観点から △EBF∽△ECAより
など他にも考えてみるのも
あり
ま、なしでもいい。

順番逆ですが
1.
CFについて

・ ∠EBC=∠ABE= x とおくと
∠ABC=∠ACB=2x
(△ABCは二等辺三角形より)
また
∠BAC= y とおくと
180゚= 2x +2x +y

・ ここで
△ACFに着目すると
∠ACF=∠ABC + ∠BAC
=2x + y
(三角形の1つの外角[∠ACF]はそれととなり合わない2つの内角の和[∠ABC+∠BAC]と等しい)
∠ACF=2x + y
さらに
∠CAF=∠EBC= x (円周角)
だから
△ACFにおいて
残りの∠AFC= x となる
(180゚=2x +2x +yより
180゚=2x + x +y +∠AFC)

△ACFは∠CAF=∠AFCの
二等辺三角形になり
AC=CF=6

CF=6

[CFの求め方もこれだけではありません]
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この回答へのお礼

天才やな

返事遅れました!すみません。なんか、肯定ばかりされるとやる気が出てきます笑
特に数学は肯定されるのが少ないので、数学へのやる気がみなぎってきますね、感謝致します...。
答えへの道のりが誰もが違う、この言葉、かっこいいですね。私がここにこの質問をしたのも色んな解説を聞けるからでありますが、まさしくそれを表したかのような言葉ですね。心に刻んでおきます。
4√2を導く時に出てきた垂線からAE:AFを導くことができるとは、、もはや感動すら覚えます。
凄いですね、なんだか憧れます。ありがとうございます!!

お礼日時:2019/03/29 02:51

辺の長さの比例を使いますが、それを使う前に、次の4つの定理を使う。


定理1、二等辺三角形の定理:二辺が等しい⇔底角は等しい。
定理2、円周角の定理
定理3、三角形の外角は内対角に等しい
定理4、三角形の相似条件
必要に応じて、順次説明する。
仮定により、∠ABCを二等分して、∠ABDと∠DBCとするので
∠ABD=∠DBC=●__① として、図に 黒丸●を記入する。∠ABD+∠DBCは
∠ABC=●●__②
仮定によりAB=ACだから△ABCは、二等辺三角形だから定理1により底角は等しい。
∠ABC=∠ACB=●●__③ 図の∠ACBに●●を記入する。
定理2、円周角の定理
ABC の三点が一つの円の円周上にあるとき、∠BACを弧BCの上に立つ円周角という。
BECの三点も同じの円の円周上にあるので、∠BECも弧BCの上に立つ円周角である。
このとき∠BAC =∠BEC =〇__④ となる。これを円周角の定理という。
図の∠BAC =∠BECに 白丸〇を記入する。
ABEの三点が一つの円の円周上にあり、∠ABE=●は弧AEの上に立つ円周角、
ACEの三点も同じの円周上にあり、∠ACEも同じ弧AEの上に立つ円周角である、ゆえに、円周角の定理により、∠ABE=∠ACE=●__⑤。図の∠ACEに 黒丸●を記入する。
ABCの三点が一つの円の円周上にあり、∠ACBは弧AB=●●の上に立つ円周角、
AEBの三点も同じの円周上にあり、∠AEBは同じ弧AB の上に立つ円周角である、ゆえに、円周角の定理により、∠AEB=∠ACE=●●__⑥。図に∠AEB=●●を記入する。
EBCの三点が一つの円の円周上にあり、∠EBC=●は弧ECの上に立つ円周角、
EACの三点も同じ円周上にあり、∠EACは弧ECの上に立つ円周角、
ゆえに∠EBC=∠EAC =●__⑦。∠EAC =●を図に記入。
定理1、△EACは。底角∠EACと∠ECAが等しいから、二等辺三角形である、
定理1により二辺が等しく。EA=EC。これをEA=EC=x__⑧とおく。
定理3三角形の外角は内対角に等しい。
三角形BCEに隣接する角の∠FCEを、三角形BCEの∠Cの外角という。
∠Cの外角は∠BCEに隣接し、∠Cの外角と∠BCEを合わせると、丁度、2直角=180°になる。
三角形BCEの残りの二つの内角、∠EBCと∠BECを内対角という。
定理3は、∠Cの外角は、内対角∠EBC=●と∠BEC=○の和に等しいという定理である。
∠Cの外角=∠FCE=∠EBC●+∠BEC○__⑨。∠FCE=●○を図に記入する。
次に、三角形AECに隣接する角の∠CEFを、三角形AECの∠Eの外角という。
∠Eの外角は∠CEAに隣接し、∠Eの外角と∠CEFを合わせると、丁度、2直角=180°になる。
三角形AECの残りの二つの内角、∠CAEと∠ECAが内対角である。
定理3により、∠Eの外角は、内対角∠CAE=●と∠ECA=●の和に等しい。
∠Eの外角=∠CEF=∠CAE●+∠ECA●__⑩。∠CEF=●●を図に記入する。
次に、三角形ECFに隣接する角の∠ECBを、三角形ECFの∠Cの外角という。
∠Cの外角は∠ECFに隣接し、∠Cの外角と∠ECFを合わせると、丁度、2直角=180°になる。
三角形AECの残りの二つの内角、∠CEFと∠EFCが内対角である。
定理3により、∠Cの外角は、内対角∠CEF と∠EFCの和に等しい。
∠Cの外角=∠ECB●●● =∠CEF●●+∠EFC__⑪。これから∠EFCを求めると
∠EFC=∠ECB●●●-∠CEF●●。これから∠EFC=●__⑫を図に記入する。
これで、必要な角度がすべてわかった。
辺の長さは、x,yを未知数として
x=AE=EC,y=EF=BE とする。
定理4、三角形の相似条件
二つの三角形ACFとBEFは二つの対応する角が等しいとき、相似である。
(二つの対応する角が等しいとき、残りの一つも等しい)
△ACF∽△BEFの相似と△ABF∽△CEFの相似の二つを使う。
まず、△ACF∽△BEFの相似
対応する辺の比は等しいから
△ACF∽△BEFで二等辺三角形である。
AC=6,AF=x+y,BE=y,BF=10
AC:AF=BE:BF
6:x+y= y:10__⑬
(x+y)y=(4+6)6=60__⑭
次に△ABF∽△CEFの相似
AB:BF =CE:EF
6:10 =x:y__⑮
6y=10x,x=6y/10__⑯
⑯を⑭に入れると
(6y/10+y)y=(4+6)6=60
(8/5)y2=60
y2=300/8=75/2 y=5√(3/2) =(5/2)√6__⑰
x=6y/10=(3/2)√6__⑱
AF=x+y=4√6
AE:AF=x:x+y=(3/2)√6:4√6=3:8
「テストに出た問題が分からないです....」の回答画像4
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この回答へのお礼

やってみます

返事遅れました、すみません。細かく丁寧にありがとうございます!、
落ちついて整理してゆけば出来そうな問題だったのですね。
しかしわたしにはなかなか高度なものに見えてしまいます笑
ありがとうございます!!

お礼日時:2019/03/29 03:06

円周上の3点A,B,C


|AB|=|AC|=6
|BC|=4
∠ABCの2等分線と辺ACの交点をD
弧ACとの交点をE
辺BCの延長と弦AEの延長との交点をFとする

円周角の定理から
CE上の円周角は等しいから
∠CBE=∠CAE
BEは∠ABCの2等分線だから
∠ABC=2∠CBE
↓∠CBE=∠CAEだから
∠ABC=2∠CAE
2等辺3角形△ABCの底角は等しいから
∠ACB=∠ABC
↓∠ABC=2∠CAEだから
∠ACB=2∠CAE
B,C,Fは同一直線上の点だから
∠ACB+∠ACF=180°
↓∠ACB=2∠CAEだから
2∠CAE+∠ACF=180°
△ACFの内角の和は180°だから
∠CAE+∠ACF+∠EFC=180°
↓2∠CAE+∠ACF=180°だから
∠CAE+∠ACF+∠EFC=2∠CAE+∠ACF
↓両辺から∠CAE+∠ACFを引くと
∠EFC=∠CAE

△ACFは2等辺3角形だから

|CF|=|AC|
↓|AC|=6だから
|CF|=6

円周角の定理から
AE上の円周角は等しいから
∠ACE=∠ABE
BEは∠ABCの2等分線だから
∠ABE=∠CBE
↓∠ACE=∠ABEだから
∠ACE=∠CBE
円周角の定理から
CE上の円周角は等しいから
∠CBE=∠CAE
↓∠ACE=∠CBEだから
∠ACE=∠CAE

△ACEは2等辺3角形だから

|CE|=|AE|

∠ABC+∠AEC=180°=∠CEF+∠AEC
∠ABC=∠CEF
∠BAE+∠BCE=180°=∠ECF+∠BCE
∠BAE=∠ECF

△ABF∽△CEF
だから
|BF|:|AB|=|EF|:|CE|
↓|BF|=|BC|+|CF|=4+6=10
↓|AB|=6
↓|CE|=|AE|
↓だから
10:6=|EF|:|AE|
5:3=|EF|:|AE|
↓|EF|=|AF|-|AE|だから
5:3=|AF|-|AE|:|AE|
5/3=(|AF|-|AE|)/|AE|
↓両辺に3|AE|をかけると
5|AE|=3(|AF|-|AE|)
↓両辺に3|AE|を加えると
8|AE|=3|AF|
↓両辺を8|AF|で割ると
|AE|/|AF|=3/8

|AE|:|AF|=3:8
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この回答へのお礼

がんばります

返事が遅れました、すみませんm(_ _)m
なるほど、このようにして解く方法があったのですね。
しかし両辺から角を引いたりと、感心させられるばかりでした。
本当に、色んな方法を駆使して答えを求めていくのですね。
ありがとうございます!!

お礼日時:2019/03/29 02:33

まぁ、


確定事項を 並べてみましょう、

仮に、
∠ABEの 角度を、
甲と おく、

設問より、
⊿ABCは 二等辺三角形、

又、
三角形の内角の和は 180°より、
⊿ABF=⊿EBF
連れて、
∠BEF-甲=∠BAF

一方、
∠BEF-甲=∠CEF
ならば、
線分AB∥線分CF
ならば、
⊿ABE∽⊿ECD
⊿BDC≡⊿ADE

⊿ECFにおいて、
点DF間を 繋ぐ、
線に対して 対象に、
裏返っても、
平行は 崩れない、

ならば、
∠ECF=∠CEF
ならばこそも、
⊿ABC、⊿ECF、
共に、二等辺三角形、

此処で、
⊿ABC:⊿ABF
=線分BC長:線分AB長
=4cm:6cm
=4:6
=2:3
ならば、
線分BF長=線分AB長×1.5
=6cm×1.5
=9cm

設問より、
線分BC長=4cm

線分CF長=線分BF長-線分BC長
=9cm-4cm
=5cm

⊿ECFが 二等辺三角形、
線分AB∥線分ECより、

線分AE長=線分EC長=4cm
先出より、
線分AF長=9cm

ならばこそも、
線分AE長:線分AF長
=4cm:9cm
=4:9
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この回答へのお礼

返事が遅れてすみません( ; ; )
確定事項を並べることは大事ですね....。
ありがとうございます。

お礼日時:2019/03/29 02:08

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