至急！解けない確率の問題を教えてください！

nを3以上の整数とする。赤玉2個、白玉1個の合計3個の玉が入った袋Uを用意し、次の手順で左から順に文字R,Wを並べた文字列を作る。ただし、袋Uの中の個々の玉の取り出される確率は等しいものとする。
（a)袋Uから玉を一個取り出す。取り出した玉が赤玉であればRを取り出した玉が白玉であればWを書く。取り出した玉は袋Uに戻す。

続いて(b)をn-1回繰り返し行う。

(b)袋Uから玉を一個取り出す。取り出した玉の色が直前に取り出した玉の色と同じであれば、何も文字は書かない。取り出した玉の色が直前に取り出した玉の色と異なれば、取り出した玉が赤玉であればRを、白玉であればWをすでにある文字列の右に書き、取り出した玉は袋Uに戻す。

袋Uからn回玉を取り出した時、得られている文字列がRWRである確率を求めよ。

この問題の解き方が分かりません。どなたか解き方とその答えを教えてください。

私は両端が絶対赤玉になり、また白玉の間に赤玉が入ることは絶対有り得ず1つの場所に固まっているということに着目して、

(2/3)^(n-1)×(1/3)^1×(n-2)C1+(2/3)^(n-2)×(1/3)^2×(n-3)C1+…+(2/3)^2×(1/3)^(n-2)×1C1

となることまでは分かったんですが、この後この式をどうして行けば良いか分かりません。ここからどう答えを導けば良いのか、それともこの考え方が間違っているのかが分かりません。どなたか教えてください！至急よろしくお願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/29 21:42

玉の出方は、赤玉の繰り返し→白玉の繰り返し→赤玉の繰り返し で合計ｎ回であるはずです。

赤a回、白b回、赤c回が並んだとすれば、そうなる確率は {(2/3)^a}{(1/3)^b} {(2/3)^c}.
これを a≧0, ｂ≧0, c≧0, a+b+c=n について総和すれば、求めたい確率となります。

{(2/3)^a}{(1/3)^b} {(2/3)^c} = {(2/3)^(n-b)}{(1/3)^b} = {(2/3)^n}{(1/2)^b}.
これを b = 1,2,…,n-2,　a = 1,2,…,n-1-b について総和すればよいので、確率は
p = Σ[b=1…n-2]Σ[a=1…n-1-b]{(2/3)^n}{(1/2)^b} = {(2/3)^n}Σ[b=1…n-2](n-1-b)(1/2)^b
= {(2/3)^n}{ (n-1)Σ[b=1…n-2](1/2)^b - Σ[b=1…n-2]b(1/2)^b }.

Σ[b=1…n-2](1/2)^b = {(1/2) - (1/2)^(n-1)}/{1 - (1/2)} = 1 - (1/2)^n は等比数列の和。

s(k) = Σ[b=1…k]b(1/2)^b と置くと、
s(1) = 1/2,
s(k+1) - (1/2)s(k) = Σ[b=1…k+1]b(1/2)^b - (1/2)Σ[b=1…k]b(1/2)^b
= Σ[b=1…k+1]b(1/2)^b - Σ[b=1…k]b(1/2)^(b+1)
= Σ[b=1…k+1]b(1/2)^b - Σ[b'=2…k+1](b'-1)(1/2)^b'
= Σ[b=1…k+1]b(1/2)^b - Σ[b'=2…k+1]b'(1/2)^b' + Σ[b'=2…k+1](1/2)^b'
= 1(1/2)^1 + {(1/2)^2 - (1/2)^(k+2)}/{1 - (1/2)}
= (1/2) + (1/2) - (1/2)^(k+1)
= 1 - (1/2)^(k+1).
s(k+1)2^(k+1) - s(k)2^k = 2^(k+1) - 1 より
s(k)2^(k+1) = s(1)2^1 + Σ[j=1…k-1]{2^(j+1) - 1}
= 1 + {2^2 - 2^(k+1)}/{1 - 2} - (k-1)
= 2^(k+1) - k-2.
よって
s(k) = 1 - (k+2)(1/2)^(k+1).
これを使って、

p = {(2/3)^n}{ (n-1){1 - (1/2)^n} - s(n-2) }
= {(2/3)^n}{ (n-1){1 - (1/2)^n} - {1 - n(1/2)^(n-1)} }
= {(2/3)^n}{ n-2 + (n+1)(1/2)^n }
= (n-2)(2/3)^n + (n+1)(1/3)^n.