この問題の(2)の解き方が分かりません。 答えは②です

この問題の(2)の解き方が分かりません。
答えは②です

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/06 11:45

x=tanθ

dx=dθ/cos²θ
I=∫{1/(1+tan²θ)²}・(1/cos²θ)dθ
=∫1/{(1+tan²θ)²・(cos²θ)}dθ
=∫1/{(cos²θ+sin²θ)²・(1+tan²θ)}dθ
＝∫1/(1+tan²θ)dθ
=∫cos²θ/{(1+tan²θ)・cos²θ}dθ
＝∫cos²θ/(cos²θ+sin²θ)dθ
＝∫cos²θdθ

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/06 12:09

sin^2θ+cos^2θ=1

∴tan^2θ+1=1/cos^2θ

(tanθ)'=1/cos^2θより
I=∫ 0…π/4 1/(1+tan^2θ)・(1+tan^2θ)' dθ=∫0…π/4 cos^2θ dθ
より丸2

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/04/06 11:53

No.2の訂正。

誤：x=tanθと置換する
　　　↓
正：x=a tanθと置換する

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/04/06 11:48

置換の仕方まで教えてくれているのだから、単なる計算問題であり、すぐに解けなければダメ。

なお、被積分関数に1/(a²+x²)という形があったら、x=tanθと置換するのは知っていて当然の常識（本問はa=1の場合）。