二次関数を平方完成しただけで、この二次関数は実数解を持たないなってわかるのはなぜですか？

二次関数を平方完成しただけで、この二次関数は実数解を持たないなってわかるのはなぜですか？

No.1 回答者： Hunteris 回答日時： 2019/05/07 19:02

適当な二次関数で何問か判別式と、平方完成のカッコの二乗の後ろの数（つまりは頂点のy座標）を出してごらん。

自然と規則性が見えてくると思うよ！

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2019/05/07 19:09

頂点の位置とどちら向きに凸かの二つの情報からx軸と共有点を持つか否かが判ります。

x軸と共有点を持たないということは即ちこれを二次方程式としたとき実数解を持たないという意味です。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/07 19:50

二次関数が

　f(x) = a(x - b)^2 + c　　　①
で a > 0 かつ c > 0 だったら、すべての実数 x に対して
　f(x) > 0
a < 0 かつ c < 0 だったら、すべての実数 x に対して
　f(x) < 0
ですよね。2乗の部分は負にはなり得ないから。

だったら、この場合には
　f(x) = 0
となる x はない、ということです。

「この二次関数は実数解を持たない」というか、正確にいえば「この二次関数 = 0 という方程式を満たす実数解を持たない」ということね。

蛇足ですが、①を展開して
　f(x) = ax^2 - 2abx + ab^2 + c
と書けば、
　 ax^2 - 2abx + ab^2 + c = 0
という二次方程式の「判別式」は
　D = (2ab)^2 - 4a(ab^2 + c)
　　= 4a^2 b^2 - 4a^2 b^2 - 4ac
　　= -4ac
なので、 a < 0 かつ c < 0、または a < 0 かつ c < 0 だったら
　D < 0
ということが分かりますね。
判別式が負ということは「実数解を持たない」ということです。

①のように平方完成すれば、「頂点の座標は (b, c)」ということですから
・a > 0 なら、下に凸の放物線なので、c >0 だったら放物線全体が x 軸よりも上にある
・a < 0 なら、下に凸の放物線なので、c <0 だったら放物線全体が x 軸よりも下にある
ということが分かり、「x 軸との交点、つまり f(x) = 0 となることはない」ということが分かりますよね。