sinのマクローリン展開についての質問なのですが、sinxをマクローリン展開するとx－x^3/3！＋

sinのマクローリン展開についての質問なのですが、sinxをマクローリン展開するとx－x^3/3！＋x^5/5！＋...＋(－1)^n－1・x2n－1/(2n－1)！＋剰余項とあるのですが、sinを奇数回微分したcosと－cosが残っているのは分かるのですが、剰余項の一つ前の項がcosか－cosになるかはどうしたら分かるのですか?分かる方いたら解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/22 14:33

sin x を繰り返し d/dx してゆくと sin x → cos x → -sin x → -cos x → sin x

と4回周期で繰り返すので、
(d/dx)^k (sin x) に x = 0 を代入すれば...
k を 4 で割った余りが 0 のとき、値は sin 0 = 0,
k を 4 で割った余りが 1 のとき、値は cos 0 = 1,
k を 4 で割った余りが 2 のとき、値は -sin 0 = 0,
k を 4 で割った余りが 3 のとき、値は -cos 0 = -1 となります。

マクローリン展開の一般項は {(d/dx)^k (sin x) [x=0] /k!}・(x - 0)^k ですが、
質問文の公式では、係数が 0 でない k = 2n-1 の項だけ書いてあるので
sin x = Σ (-1)^(n-1)・x^(2n-1)/(2n-1)！ となるのです。
右辺の無限級数をどこで打ち切って、剰余項の一つ前の項を
n が偶数にするか n が奇数にするかは、あなたの自由です。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/23 08:28

展開で0になる省略された項も含めて考えると(0次項は無視(^-^;)

2n-1番目の項まで展開し、2n番目を剰余項としてもよいし、
2n番目まで展開し、2n+1番目を剰余項としても良い。

質問は後者ですよね?

剰余項の中に(-1)^nの因子が含まれる筈なので
区別する必要ないし、その符号でわかります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/22 14:16

そこに、一般項が (-1)^(n-1)・x^(2n-1)/(2n-1)！ だって書いてあるでしょ。

n が偶数か奇数かで判るんですよ。