なぜこういう式は普通にlogの形で積分できないのですか？

なぜこういう式は普通にlogの形で積分できないのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/30 16:09

ANo.2です。

>log|t^2+2t|という感じでしてはダメな理由を教えてください。馬鹿な質問ですいません。

微分して検算してみましょう。

前提として、微分には以下の公式があります。

合成関数 f(g(x)) の微分は、( f(g(x)) )'=f'(g(x))g'(x)

( log|t^2+2t| )'=(1/(t^2 + 2t))(2t+2)
=(1/(t^2 + 2t))(2(t+1))
=2(t+1)/(t^2 + 2t)

となり、合っていないことが分かると思います。


ちなみに、(1/2)log|t/(t+2)|+Cを微分すると、

( (1/2)log|t/(t+2)|+C )'=(1/2)(1/(t/t+2))(1/(t+2) - t/(t+2)^2)
=(1/2)((t+2)/t)((t+2)/(t+2)^2 - t/(t+2)^2)
=(1/2)((t+2)/t)(2/(t+2)^2)
=1/(t(t+2))
=1/(t^2 + 2t)

この回答へのお礼

どういうときに、 簡単にlogの形で積分できるのでしょうか？

お礼日時：2019/06/30 16:23

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/30 16:39

＞どういうときに、 簡単にlogの形で積分できるのでしょうか？

それは、No.2さんが実際にやって見せているでしょう？
∫(1/t)dt = log|t| + (定数) のときだけが、「簡単にlogの形で積分でき」ます。
∫(1/(at+b))dt = (1/a)log|at+b| + (定数) なら、この式にわりと近いけれど、
それだって、右辺は log|at+b| ではありません。
一般に ∫(1/f(t))dt = log|f(t)| + (定数) ではない。それだけのことです。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/30 15:29

logの形で積分できるよう式変形する必要があります。

∫1/(t^2 + 2t) dt
=∫(1/t(t+2)) dt
=∫(1/2)((1/t)-(1/(t+2))) dt
=(1/2)∫(1/t)-(1/(t+2)) dt
=(1/2)(log|t|-log|t+2|)+C
=(1/2)log|t/(t+2)|+C（C：積分定数）

この回答へのお礼

log|t2^+2t|という感じでしてはダメな理由を教えてください。馬鹿な質問ですいません。

お礼日時：2019/06/30 15:50

No.1 回答者： 物なやら 回答日時： 2019/06/30 15:00

tでくくって部分分数分解したらlogの形で積分できんじゃん