１番 なぜこの問題はπ-xで置換するのですか？ 解説お願いします。

１番
なぜこの問題はπ-xで置換するのですか？
解説お願いします。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/14 16:41

左辺、∫xf(sinx)dxをまともに積分するのは大変なので、知恵を働かせて楽をするためです

π-x=tと置き
左辺の積分区間を分割すると
左辺＝∫[0→π/2]xf(sinx)dx+∫[π/2→π]xf(sinx)dx
xのときの積分区間[π/2→π]が置換によって[π/2→0]に変わりますから
∫[π/2→π]xf(sinx)dxの置換が∫[π/2→0]tf(sint)dt=-∫[0→π/2]tf(sint)dtとなってくれれば∫[0→π/2]xf(sinx)dxと相殺されますので、期待が持てるという事です。
実際にこの置換積分をしてみると
π-x=t
-dx=dt
sinx=sin(π-t)=sint
[π/2→π]が[π/2→0]に変更なので
∫[π/2→π]xf(sinx)dx=∫[π/2→0](π-t)f(sint)(-dt)
=π∫[π/2→0]-f(sint)dt-∫[π/2→0]-tf(sint)dt
＝π∫[0→π/2]f(sint)dt-∫[０→π/2]tf(sint)dt
積分変数にｘとｔの違いはあっても、定積分計算の要領は同じなので
π∫[0→π/2]f(sint)dt-∫[０→π/2]tf(sint)dtと
π∫[0→π/2]f(sinx)dx-∫[０→π/2]xf(sinx)dxの値は等しいですから
当初の期待通り相殺がおこり
左辺＝∫[0→π/2]xf(sinx)dx+∫[π/2→π]xf(sinx)dx(=π∫[0→π/2]f(sint)dt)＝π∫[0→π/2]f(sinx)dxが得られます

右辺も同様で　積分区間をπ/2で分割して
π-x＝ｔ　という置換をすると
右辺=(π/2)∫[0→Π/2]f(sinx)dx+(π/2)∫[0→Π/2]f(sinｔ)dtがえられますから
今度は相殺ではなく単純な加算となりやはり計算が楽です
この結果
右辺＝(π/2)∫[0→Π/2]f(sinx)dx+(π/2)∫[0→Π/2]f(sinｔ)dt=2・(π/2)∫[0→Π/2]f(sinx)dx
＝π∫[0→Π/2]f(sinx)dx

以上から左辺＝右辺　を楽に示すことが出来ます

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/14 16:03

そう置換すると、たまたまウレシイことが起こるからです。

こんなの、どこから思いつくんでしょうね？

S = ∫[0,π] x f(sin x) dx と置き、y = π - x で置換すると、
S = ∫[0,π] x f(sin x) dx = ∫[π,0] (π-y) f(sin(π-y)) (-dy) = ∫[0,π] (π-y) f(sin y) dy
= π∫[0,π] f(sin y) dy - ∫[0,π] y f(sin y) dy = π∫[0,π] f(sin y) dy - S.　←[1]
よって、2S = π∫[0,π] f(sin y) dy から S = (π/2)∫[0,π] f(sin y) dy.　←[2]

巧妙すぎて、特に応用もなさそうだし。思いついたらこの問題が解けるだけです。
強いて言えば、[2]から逆算して[1]の形になるはずだ と見当をつければ、
sin(π-y) = sin y を使うシカケが見えてくるかなあ とかいうくらいの話。