二次関数y=(x+1)^2がx^2+2x+1が曲線の弧を描くのはわかるのですが y=(x+1)^nに

二次関数y=(x+1)^2がx^2+2x+1が曲線の弧を描くのはわかるのですが
y=(x+1)^nになるとなぜnx+1という1次関数化（y=ax+bの直線化）するのかがよくわかりません

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/11/14 19:04

二次関数y=(x+1)^2がx^2+2x+1が曲線の弧を描く

y=(x+1)^nになるとなぜnx+1という1次関数化（y=ax+bの直線化）するか。

貴方の図のx=0，y=1の点を中心とした拡大図を描き、
y=(x+1)^nのグラフを、n=1,2,3,4,5,6
の６本を追加した。n=2が、二次関数y=(x+1)^2の曲線です。
y=(x+1)^nのグラフのおよその形を、n=1,2,3,4,5,6について知りたいとき、
また、素早く計算したいとき、点線の丸の中を見ると、直線ばかりのグラフなので、
簡単で便利な公式があります。それがy=nx+1です。点線の丸の中で使って下さい。
n=1のときは、直線だから、点線の丸から離れても正しいが、
n≧2ではグラフが曲がるので、丸から離れると使えなくなります。
この式の証明は次の二項定理により二項展開式を使う。
xの次数が小さい順に書き、２乗、３乗の項はあとに書く。
(x+1)²＝1+2x＋x²
(x+1)³＝1+3x＋3x²＋x³
(x+1)⁴＝1+4x＋6x²＋4x³＋x⁴
･･･
xが0.1程度の小さい数のとき、x²は0.01程度でもっと小さい数になるので、x²、x³等を省略すると
y= 1 + nxの公式となる。
正式には、微分法を使う。曲線y=(1+x)^nのグラフの傾きを計算する微分法を使うと
dy/dx=n(x+1)^(n－1)
点線の丸の中心ではx=0と置くと
dy/dx=nが傾き(=勾配)で、グラフの接線は
y≒1+nxとなる。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2019/11/14 06:55

そもそもの話として、あなたが断片的に話を聞いて勝手に誤解しているだけではないだろうかと思います。

x≒0のとき y=nx+1 に近似します。
近似であって直線にぴったり一致するわけではありません。
なぜ近似出来るのかについては高校で微分の勉強をしてください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/11/13 23:13

なにをいっているのかわからない. 「1次関数化」とか「直線化」って, どういうこと?