電磁気学の等電位線

電磁気学の等電位線についての問題です。下の図の問題で
・中心Oを通る等電位線はどの電荷を囲むか。またその等電位線の概略をかけ。
というものです。

どのように等電位線を描くのかを教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• わからないです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/30 09:46

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/11/30 09:32

ヒントですが、電位 0 の線が、およそどういう形になっているか描けますか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/30 11:25

電位は、４つの電荷がそれぞれ作る電位の合成になります。

まず、基本として、４つの電位がそれぞれ単独にあった場合の電位が書ける（あるいは想像できる）ことが条件です。
それはできますか？

それができたら、各々の「等電位線」を書いてみてください。
その「重なり」なり「交点」から、各点の「合成電位」が求まります。

それが求まれば、あとはその「合成電位」の等しい部分を結べば「合成電位の等電位線」がもとまります。
ただし、与えられた問題の場合には、電荷の大きさがかなり「ばらばら」なので、これは相当に複雑でちょっと大変です。

実際的には「代表点」、この図でいえば (0, 0), (a/2, 0), (0, a/2), (-a/2, 0), (0, -a/2) ぐらいの「各々の電荷が作る電位」と「その合成電位」を求めて、全体の「電位の概要」を把握することから始めればよいと思います。
その上で、「詳細知りたい箇所」があればその付近に「代表点」を増やせばよいのです。たとえば (a/4, 0, (0, a/4), (-a/4, 0), (0, -a/4) など。

少なくとも「楽に求まる」方法はないので、工夫しながら「概形→必要なら詳細」というプロセスを、自分で工夫しながらやってみるしかないです。
「楽にできるはずだ」と考えて「きちんとしたプロセス」を試みることもせずに「分かりません」というのは、ただの怠慢です。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/30 11:34

電気力線を描いてみてはどうでしょうか？

ただし以下の性質に留意です
・＋電荷から出て、－電荷に入り途中で消えることは無い（マイナス電荷にたどり着かない電気力線は延々と伸びる）
・枝分かれしない、交わらない
・電気力線どうしは互いに反発する
・各電荷から出る電気力線の数は、電荷に比例する

すると、３つの＋電荷それぞれから１つのマイナス電荷へ伸びる曲線状の電気力線（およその形状）が描けるはずです
（もちろん、マイナス電荷へたどり着かない電気力線も存在します・・・こちらは延々と伸ばしておきます
また、電気力線どうしがぶつかりそうになったら、互いに反発力が働くとイメージして曲線の出来上がりを考えます）

電気力線と等電位面は直交することから、
原点（付近）をとおる電気力線の法線を描き、
隣の電気力線に直交するように法線を書きのばしていけば、どの電荷を囲むか見えてくるはずです！

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/30 12:17

No.2 です。

「イメージ」の話もしておきましょう。
（ただし、それで質問者さんがイメージできるかどうかは、質問者さんの「想像力」次第です）

「等電位線」を、地図の「等高線」と考えます。
そうすると、
・q1 は「高さ 12nC」の山
・q2 は「高さ 21nC」の山
・q3 は「深さ 23nC」の谷（窪地）
・q4 は「高さ 17nC」の山
です。

各々の「山」や「窪地」は、単独では「富士山」や「蟻地獄の穴」のように均整の取れた「回転対象」の形をしています。
それが全部重なり合った地形が図に示されているものです。
さあ、どんな「高低」の地形になっているでしょうか？　
原点と同じ高さの場所などこで、その等高線はどんな形になっているでしょうか？　
という問題と同じです。

「おおよその地形」なら想像できますよね？

あなたの質問が「どのように等電位線を描くのかを教えてほしいです」ということなので、#1 や上の回答を書きましたが、与えられた問題自体は「等電位線とは何か」を理解していれば、等電位線を書かなくとも解けることは分かりますか？

(1) まず、原点の電位を求めます。これは #1 に書いたように「4つの電荷が各々独立に作る電位の合成」で求まります。

(2) それが「プラス」であるか「マイナス」であるかを確認します。

(3) 電位は「無限遠」で「ゼロ」になるので、(2) が「プラス」なら「正電荷 q1, q2, q4 を取り囲む」ことになるし、「マイナス」なら「負電荷 q3 を取り囲む」ことが分かります。

この (3) が問題の答になります。
その「等電位線」は、q1～q3 間、q3～q4 間を通るのは明確ですから、だいたい「どの辺」を通るかを見極めればおおよその等電位線が書けると思います。

No.5 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/01 15:15

No.4 です。

まだ解決できませんか？

やってみれば

＞(1) まず、原点の電位を求めます。

　q1 ～ q4 と原点の距離はすべて a/√2 ですから、クーロン定数を k と書いて

(a) q1 による原点の電位
　V1 = k*12n/(a/√2) = k*12√2 *n/a

(b) q2 による原点の電位
　V2 = k*21n/(a/√2) = k*21√2 *n/a

(c) q3 による原点の電位
　V3 = k*(-23n)/(a/√2) = -k*23√2 *n/a

d) q4 による原点の電位
　V4 = k*17n/(a/√2) = k*17√2 *n/a

従って、原点の「合成電位」は
　V0 = V1 + V2 + V3 + V4 = k*27√2 *n/a
です。

＞(2) それが「プラス」であるか「マイナス」であるかを確認します。

上の結果から
　V0 > 0
です。

(3) q1, q2, q4 は「正電荷」ですから、その位置での電位は「+無限大」になります。
また、上の (2) より原点は有限の正の電位です。

一方、y の「+無限大」では V=0 ですから、この図に示された範囲と「y → +無限大」の間のどこかに V0 と同じ電位のところがあります。
同様に、x の「+無限大」では V=0 ですから、この図に示された範囲と「x → +無限大」の間のどこかに V0 と同じ電位のところがあります。

他方、図をざっと見ると、q1 ～ q3 間、q3 ～ q4 間のどこかに「電位 0」があることが分かります。
その位置が分かれば、「原点と同じ電位」の位置がそれよりも q1, q4 寄りだとわかるので、おおむねの等電位線が書けそうです。

q1 ～ q3 が x 軸と交差する点の電位は
　k*12n/(a/2) + k(-23n)/(a/2) + k*21n/(√5 *a/2) + k*17n/(√5 *a/2)
= -k*22n/a + k*(76/√5)/a
≒ -k*22n/a + k*34/a > 0
= k*12n/a < V0　かつ　>0

q3 ～ q4 が x 軸と交差する点の電位は
　k*17n/(a/2) + k(-23n)/(a/2) + k*21n/(√5 *a/2) + k*12n/(√5 *a/2)
= -k*12n/a + k*(66/√5)/a
≒ -k*22n/a + k*30/a > 0
= k*8n/a < V0　かつ　>0

従って、原点を通る等電位線は、
・q1, q2, q4 を囲む
・原点、および q1 ～ q3 間のｘ軸を y>0 の位置で、q3 ～ q4 のy軸を x>0 の位置で通過する
になります。

もっと詳しく知りたければ、もっとたくさんの点の電位を計算してください。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました！
無事書くことができました。

お礼日時：2019/12/02 17:20