正n角形の対角線の本数を数列で求める事はできますか

正n角形の対角線の本数を数列で求める事はできますか

No.3 回答者： tucky 回答日時： 2019/12/04 04:47

おそらくNo.2さんの回答で良いのですが、質問で、正n角形とい聞いているのに「n角形は正n角形でなくてもよい」と仮定

するのは初心者にはわかりにくいように感じました。実質同じ内容に近いですが、書いてみます。
　一番簡単な対角線の引ける正n角形は正方形ですので、まず、正方形で考えてみましょう。
　正方形の一つの頂点から引ける対角線は１本です。正方形は四角形ですので、正四角形の一つの頂点から引ける対角線の
数は１本ですから、正ｎ角形の一つの頂点から引ける対角線の数はｎー３本であることがわかります（正５角形、６角形
くらいはざっと絵を書けばわわかると思います）。
　正方形には四つの頂点があり、一つの頂点から１本の対角線が引けるので対角線の数は４×１＝４本になりそうですが、
１本の対角線は２つの頂点でカウントされるので、対角線の数は２で割って４×１／２＝２本となり、実際、正方形の
対角線の数は２です。正方形は４つの頂点を持ち、その対角線の数が４×（４－３）／２ですから、正n角形はｎ個の頂点
を持ち、その対角線の数がｎ×（ｎ－３）／２となります。
　この説明は、数列の考えを使っています。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/03 21:46

やろうと思えばね。

凸n角形の対角線の本数は皆同じなので、n角形は正n角形でなくてもよいとします。←[＊]
凸n角形の対角線の本数を a(n) とし、n角形の一辺を
それを底辺として高さのとても低い三角形で置き換えてみましょう。
(n+1)角形の対角線は、もとのn角形の対角線 a(n) 本、三角形で置き換えた元の辺 1 本、
付け足した頂点とn角形の各頂点をむすぶ n 本の線分のうち(n+1)角形の辺である 2 本を除いた n-2 本
に分類されます。よって、a(n+1) = a(n) + 1 + (n-2).
これと a(3) = 0 を合わせると、漸化式が解けて
a(n) = a(3) + Σ[k=3..n-1](1+(k-2)) = 0 + (2+(n-2))(n-3)/2 = n(n-3)/2.

でも、実は[＊]を組み合わせ論的な考察から得ているので、
普通に中学入試の参考書にあるように↓求めたほうが素直かな？という感じはあります。
http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm

No.1 回答者： EZWAY 回答日時： 2019/12/03 18:09

何故にわざわざ「数列」をつかうのでしょうか？

単純に組み合わせを考えた方が速いのでは？