xの変域を-6<x<2とするとき、y=x^2/2の最大・最小を答えよ。 この問題の答えは、最小値は0

xの変域を-6<x<2とするとき、y=x^2/2の最大・最小を答えよ。

この問題の答えは、最小値は0、最大値なしですよね？


その解説の中で、2≦x<2の範囲では、明らかに最大値は存在しません。

x=-6+e(0<e<4)でyが最大を取るとすると、x=-6+e/2の時yはより大きくなり、矛盾します。
同様にいくらでもxを-6に近づけることができるため、最大値は存在しません。

という説明がありました。
この説明の意味がわからないのですが、分かりやすく教えて下さい。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/12/07 16:22

最大値が存在しないというより、

xの変域が-6<x<2と、xの境界-6, 2を含んでいないため、最大となるxおよび最大値を数値で一意に示せない。

だね。
それをeを用いて説明しているようだけど、eも0<e<4とeの境界0, 4を含んでいないため、言葉のすり替えで説明になっていないように思える。

問題自体がよくないと思う。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/07 17:02

グラフと連動させて考えてください

-2≦x<2の部分より左側部分の方がグラフが高くなっているので→「-2≦x<2の範囲では、明らかに最大値は存在しません。」

「x=-6+e(0<e<4)でyが最大を取るとすると…①」→グラフの-2≦x<2の部分より左側で最大値を取るとすると　と言う意味
（0<e<4だから辺々-6して、-6<e-6<-2⇔-6<-e+6<-2 なのでx=-e+6とはグラフの-2より左側部分の事）
eを0から４まで少しずつ大きく変えていけば、-6+eは-6から-２へと少しづつ変わるので
x=-6+eは　グラフ上-2≦x<2の部分より左側のすべてを言い表していることになります
したがって①は、「グラフ左側の適当な部分で最大値を取るとすると」　言う意味を言い表していることになります

「x=-6+e/2の時yはより大きくなり」
(-6+e)-(-6+e/2)=e/2>0なので　この引き算は　大ー小　の結果という事を示しています
つまり -6+e/2の方が　-6+eより小さいという事です
このとき、グラフではx=-6+eより　ｘ＝-6+e/2のほうが左にあることになります
という事は、x座標が-6+e/2である点の方がｙ座標が高い位置にあるという事を意味します
これは、x=-6+eで最大、つまりグラフの位置が最も高いと仮定したのに、それより高い位置があるという事になり
矛盾です
矛盾の原因は仮定、つまり「x=-6+e(0<e<4)でyが最大を取るとすると」にあるのでこの仮定は間違い
という「背理法」の論法です

→という事はグラフ左側部分に最大値は存在しないという事になります

かいつまんで言うと、
x座標が-6+eである点をグラフの（可能な限り）左側にとった場合　
eの部分がe/2,e/3・・・e/10000・・・　といくらでも小さくできるから
いま取った点よりも左にいくらでも別の点が存在する
より左にある点の方がグラフの位置は高いから、
いくらでも位置が高い点（ｙ座標が大きい点）が現れる
つまりは最大値が確定しない　と言うことを言いたいのです

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/07 23:14

最大最小は後の話にして、y の値域を求めましょう。

-6 < x < 2, y = x^2/2 であれば、 0 ≦ y < 18.

y の最大値とは、y のとり得る値 M であって、
y のどんな値についても ｙ ≦ M であるようなもの
のことです。それが定義。

0 ≦ y < 18 については、この範囲にどんな M をとっても
実数の稠密性から M < y < 18 となる y が存在してしまうので、
y の最大値は存在しません。

その「解説」は、なんだかなあ...