数学1 二次関数 場合わけ 等号(=)どこにつけるの？という質問と、(1)の(イ)だと、0<a<=2

数学1 二次関数 場合わけ

等号(=)どこにつけるの？という質問と、(1)の(イ)だと、0<a<=2とになってますが、もしaが2になったときm(最小値)は
aでとり-a^2+2ではなく2でとり-4a+6になります。0<a<=2だとしたら軸が2のときそれ以外のときで最小値の答えが変わります。どういうことなんですか？と2つ質問です
すみません理解力がないので詳しく教えてほしいです

No.4 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/12/18 14:07

追伸

この場合の「普通」とは、「0より大きい数と0より小さい数を分けるとき、0を負の数に入れるのはあまり普通じゃないですよね。」という意味です。

No.3 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/12/18 13:59

区間が決まっている二次関数の最大値と最小値の問題では、X ^2の係数が正のとき、下に凸のグラフになるので、最大値は区間の起点または終点、最小値は起点または頂点または終点のいずれかになります。

この問題では、頂点の座標が(a,-a ^2+2)で、aの値によって頂点が動くのですが、最小値は「頂点が区間内であれば頂点が最小値、頂点が区間外であれば起点か終点の頂点から近い方が最小値」になります。
これを数学的に言えば、a <0のときf(0)、0<a <2のときf(a)、2<aのときf(2)となるわけです。
ここで質問が「どちらに等号をつけるか」と「どちらに等号をつけるかで答えが変わるか」ですね
まず2番目の答えは、変わらないです。
これはa=0のときf(a)=f(0)であり、はa=2のときf(a)=f(2)であるから境界の前後のどちらの計算式で計算しても答えが同じだからです。
ですから、1つ目の答えは「どちらでも良い」ということになります。
ただし、この手の問題では、場合わけは小さい方から、「<」と「≦」を交互に並べていくのが普通です。
それ以外はどちらでもいいと思いますが、この問題では、x≦0よりは0≦x<2の方がなんとなく普通のような気がします。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/12/18 12:25

(1)の(イ)だと、0<a<=2とになってますが、もしaが2になったときm(最小値)は

aでとり-a^2+2ではなく2でとり-4a+6になります。0<a<=2だとしたら軸が2のときそれ以外のときで最小値の答えが変わります。どういうことなんですか？

＞＞＞まずaは数字だという事を理解してください
例えば円周率を表わす文字πも3.1415・・・という具体的数字を表わす文字ですよね
aもこれと同じで、ある数字を表わす文字なんです
とはいえ、この問題ではある数字が具体的にいくつなのか分からない状態です
つまり、このある数字の上にaをおいてマスキングしているという状態なんです
具体的にはいくつであるか不明な定数（頂点のｘ座標を示す定数）を文字aで表わしているのです
（対してx,yは定数ではなく変数です、両者とも自由自在に値が変わり得ます）

0＜a≦２の範囲では
aが２を表わしている文字である場合であろうとなかろうと、最小値は頂点(x=a)で取るというのは良いですよね。
というのもaがマスキングしている数字が、0＜a≦２の範囲にある数字のいずれかの場合は、グラフの頂点(a,-a²+2)が必ず定義域内(0≦x≦2)に来るからです
もし、aがマスキングしているのが２だとすればaを2に置き換えることが出来ますから
頂点の座標も具体的(2,-2²+2)に決まり定義域内での最小値も-2²+2=-2と言うように具体的な数値がわかるようになるのです。
ここまでは、最小値はx=aで取る。aが２を表わしているなら最小値は・・・という考え方から得られた結果でした

別系統では、a=2の場合なら最小値はx=2でとると　と言う考え方もできます
最小値：f(2)=-4a+6で aがマスキングしている数字は２だよ　と言う場合を考えているのですから、aを2に置き換えれて
f(2)=-4a+6=-4・2+6=-2・・・最小値　と求まります
結局両者とも「文字aが表しているのは具体的数字2」の場合を考えているので、どちらの順番で最小値を調べても当然同じ結果が得られるのです。

関連して
例えば「い」と「う」の場合分けで「＝」をどちらに含めるのかと言うのは悩むところかもしれません
頂点で最小値を取るのはa=2までと考えれば、場合分けは「（い）0<a≦２」となりますし
最小値を取るのがx=2となるのはa=2以降と考えれば、「（う）2≦a となります」
ということで、これらは２つとも間違いではないのです
けれども、
（い）0<a≦２のとき・・・（う）2≦a　のとき・・・
というように並べてしまうと2が（い）（う）の両方にあり重複です
この重複を解消するためには
（い）0<a<２のとき・・・（う）a=2のとき・・・（え）2<a　のとき・・・、
としてしまうのも良さそうです
しかし、こうなると記述の分量も増え、見た目にスマートでもありません
ならば、a=2のときをどちらかに統合してしまおう　となるのが自然です
どちらに統合しても間違いではありませんから
自分の好みや、答案の流れ、題意などをみて、どちらかに統合すれば良いのです
画像のように統合して場合分けしても
「い）0<a<２のとき・・・（う）2≦a　のとき・・・ 」としても
丁寧に場合分けしなおせば双方とも「い）0<a<２のとき・・・（う）a=2のとき・・・（え）2<a　のとき」と言う意味を持つから間違いではないのです。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/18 08:16

>aでとり-a^2+2ではなく2でとり-4a+6になります。

同じだよね。x=a=2を何処でどう使うかの違い。結果は同じ。