数学の問題を教えてください π/2<θ<πでsin=1/3のとき、sin2θ、cosθ/2の値を求め

数学の問題を教えてください

π/2<θ<πでsin=1/3のとき、sin2θ、cosθ/2の値を求めよ。

解き方を途中式と一緒に教えて頂けると有難いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/16 22:48

まずは、π/2 < θ < π ですから

　sin(θ) > 0
　cos(θ) < 0
です。従って
　cos(θ) = -√[1 - sin^2(θ)] = -√[1 - (1/3)^2] = -√(8/9) = -(2√2)/3　　　①

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) = 2 * (1/3) * (-2√2 /3) = -4√2 /9

cos^2(θ/2) = (1/2)[cos(θ) + 1]
ここで、π/2 < θ < π より
　π/4 < θ/2 < π/2
なので、cos(θ/2) > 0 であることから
　cos(θ/2) = √{(1/2)[cos(θ) + 1]}
①を使って
　cos(θ/2) = √{(1/2)[-(2√2)/3 + 1]} = √(1/2 - √2 /3)

この回答へのお礼

すみません！
cos^2(θ/2)=(1/2)[cos(θ)+1]
はどのような公式を用いていますか？理解不足で申し訳ありません…

お礼日時：2020/02/16 23:16

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/16 23:24

No.1 です。

＞cos^2(θ/2)=(1/2)[cos(θ)+1]
＞はどのような公式を用いていますか？理解不足で申し訳ありません…

「半角の公式」です。通常は
　cos^2(θ)=(1/2)[cos(2θ)+1]
と書かれることが多いかもしれませんが、θ → θ/2 に置き換えれば上のようになります。

「半角の公式」は、「倍角の公式」から求まります。（倍角の公式は「加法定理」から求まります）
　cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos^2(θ) - son^2(θ) = cos^2(θ) - 1
より
　cos^2(θ)=(1/2)[cos(2θ)+1]

この回答へのお礼

とてもよくわかりました！
お手数お掛けして申し訳ありませんでした。
ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2020/02/16 23:35