質問です。r→=(x,y,z)を3次元空間における位置ベクトルとする。3次元空間における任意の閉じた

質問です。r→=(x,y,z)を3次元空間における位置ベクトルとする。3次元空間における任意の閉じた曲線上Cを積分経路とする以下の周回積分を求めよ。
∮r→•dr→
お願いします。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/02/18 20:14

ストークスの定理を使えば一発。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/18 23:11

(d/dt)|→r|^2 = (d/dt){(→r)・(→r)}

= {(d/dt)(→r)}・(→r) + (→r)・(d/dt)(→r) = 2(→r)・(d/dt)(→r).
これを使って、任意のパラメータ表示された曲線 (→r) = (→C)(t) について
∫[a,b]{(→r)・(d/dt)}dt = (1/2){ |(→C)(b)|^2 - |(→C)(a)|^2 } となる。
特に (→C)(a) = (→C)(b) である場合は、∮[C](→r)・d(→r) = 0.

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/19 02:49

rot r =0(ベクトル) だから、ストークスの定理より周回積分は0。