2次関数の問題です。 2次関数y=x²−3x+c（1≦x≦4）の最大値が5であるように、定数cの値を

Question

2次関数の問題です。

2次関数y=x²−3x+c（1≦x≦4）の最大値が5であるように、定数cの値を定めなさい。また、そのときの最小値を求めなさい。

どなたかお教え頂けると幸いです。
よろしくお願い致します。

masterkoto · Accepted Answer

まずは、頂点が1≦x≦4の範囲にあるのかないのかで話が違ってくるので頂点の座標を調べます
y=x²−3x+c={x-(3/2)}²-9/4+c
={x-(3/2)}²+(-9/4+c)
より頂点は(3/2,-9/4+c)です
この頂点のx座標3/2=1.5は1≦x≦4の範囲内ですから
ということは頂点は与えられた範囲の中に存在するということです
そこで、頂点のｘ座標を1.5(y座標はcという文字が含まれているので抵当で良いです）として、放物線グラフを実際に書いてみます（イメージするだけでも構いません）
すると、頂点からより離れた位置であるx=4でグラフが最も高くなっていることに気がつきます
　
ゆえに,y=x²−3x+c（1≦x≦4）はx=4で最大値が5ということが分かります
つまりこのグラフは(4,5)を通るということです
したがって、(4,5)をy=x²−3x+cに代入することが可能で
5=4²-3・4+c⇔c=1と求められます

またこのとき、頂点のy座標は-9/4+c＝-9/4+1=-5/4ですから
この放物線グラフの頂点の座標は　(3/2,-5/4)となります
1≦x≦4の範囲ではグラフが最も低くなる位置は頂点ですから
x=3/2で最小値-5/4というように求められます。

kairou · Answer

y=x²-3x+c のグラフは、下に凸で 軸が x=3/2 の放物線であることが分かります。
問題の条件 1≦x≦4 では、4 の方が 軸から離れていますので、x=4 のとき y=5 であることが分かります。
従って 5=4²-12+c から、c=1 となります。
又、最小値は 頂点の y 座標ですから 上の式に x=3/2 を代入して、
(3/2)²-(9/2)+1=(9/4)-(18/4)+(4/4)=-5/4 となります。

masterkoto · Answer

＃４訂正
(y座標はcという文字が含まれているので抵当で良いです）→正しくは　(y座標はcという文字が含まれているので適当で良いです）

ティスエマ · Answer

y=x²−3x+cを変形すると

y=(x-2分の3) 二乗＋c-4分の9
となり、Xが２分の３のとき(1.5)が最小値となります最大値とはそれより1番離れた所にあるのでX=4の時が最大値になります、y=x²−3x+cのXに4を入れ、Ｙに5を代入すればcは出てくると思いますそーすればc=1となると思います(しっかりと計算していないため間違えているかもしれません、)
最小値は先程言った通り２分の３になると思います

むらさめ · Answer

y=x^2−3x+c　　←　強引に平方完成させる　xの範囲（1≦x≦4)
=(x^2-2･(3/2)x+(3/2)^2)　+c-(3/2)^2
=(x-3/2)^2　+c-(9/4)
上式より、頂点は　x=3/2に存在する、xの範囲は　1≦x≦4　なので、最大値5は、x=4の時である。
5=16-12+c
5-4=c　c=1
最小値=c-9/4=1-9/4=-5/4

答　c=1　最小値=-5/4

他にもやり方はあると思います

ばたばたふらい · Answer

平方完成をして、y=(x-3/2)^2-9/4+cとなり、
また下に凸なので、x=3/2の時が最小値
あとは1≦3/2≦4から1番離れているx=4を代入
するとcが出てきます

2次関数の問題です。 2次関数y=x²−3x+c（1≦x≦4）の最大値が5であるように、定数cの値を

まずは、頂点が1≦x≦4の範囲にあるのかないのかで話が違ってくるので頂点の座標を調べます

y=x²-3x+c のグラフは、下に凸で 軸が x=3/2 の放物線であることが分かります。

＃４訂正

y=x²−3x+cを変形すると

y=x^2−3x+c ← 強引に平方完成させる xの範囲（1≦x≦4)

平方完成をして、y=(x-3/2)^2-9/4+cとなり、

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