第n次導関数の問題について f(x)＝x^2 e^2x とg(x)＝(x^2 -1)cosxの第n次

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質問者：インテグラル太郎
質問日時：2020/06/09 10:26
回答数：2件

第n次導関数の問題について

f(x)＝x^2 e^2x とg(x)＝(x^2 -1)cosxの第n次導関数の導き方と解を教えてほしいです。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2020/06/09 18:48

積の微分法です。

(d/dx)^n f(x) = (d/dx)^n { (x^2)e^(2x) }
= Σ[k=0..n] (nCk){ (d/dx)^k x^2 }{ (d/dx)^(n-k) e^(2x) }
= (nC0)(x^2){ (d/dx)^(n) e^(2x) }
　　+ (nC1)(2x){ (d/dx)^(n-1) e^(2x) }
　　+ (nC2)(2){ (d/dx)^(n-2) e^(2x) }
= 1(x^2){ (2^n) e^(2x) }
　　+ n(2x){ (2^(n-1)) e^(2x) }
　　+ { n(n-1)/2 }(2){ (2^(n-2)) e^(2x) }
= { x^2 + nx + n(n-1)/4 }(2^n)e^(2x).

(d/dx)^n g(x) = (d/dx)^n { (x^2 - 1)cos x }
= Σ[k=0..n] (nCk){ (d/dx)^k (x^2 - 1) }{ (d/dx)^(n-k) cos x }
= (nC0)(x^2 - 1){ (d/dx)^(n) cos x }
　　+ (nC1)(2x){ (d/dx)^(n-1) cos x }
　　+ (nC2)(2){ (d/dx)^(n-2) cos x }

[ n≡0 mod 4 のとき ]
= 1(x^2 - 1){ cos x }
　　+ n(2x){ sin x }
　　+ { n(n-1)/2 }(2){ -cos x }
= { x^2 - 1 - n(n-1) }(cos x) + 2nx(sin x),

[ n≡1 mod 4 のとき ]
= 1(x^2 - 1){ -sin x }
　　+ n(2x){ cos x }
　　+ { n(n-1)/2 }(2){ sin x }
= - { x^2 - 1 - n(n-1) }(sin x) + 2nx(cos x),

[ n≡2 mod 4 のとき ]
= 1(x^2 - 1){ -cos x }
　　+ n(2x){ -sin x }
　　+ { n(n-1)/2 }(2){ cos x }
= - { x^2 - 1 - n(n-1) }(cos x) - 2nx(sin x),

[ n≡3 mod 4 のとき ]
= 1(x^2 - 1){ sin x }
　　+ n(2x){ -cos x }
　　+ { n(n-1)/2 }(2){ -sin x }
= { x^2 - 1 - n(n-1) }(sin x) - 2nx(cos x).