物理学力学の得意な方お願いします xy平面内を運動する質量mの小球がある。 その運動方程式は m・d

物理学力学の得意な方お願いします

xy平面内を運動する質量mの小球がある。
その運動方程式は
m・d^2x/dt^2 = -kx
m・d^2y/dt^2 = -ky
で与えられる。

この運動方程式の特別な解として、
x=a cos ωt , y=b sin ωt
を考える（a>b>0,ω=√k/m)

このとき、次の問題に答えよ。
（1）この小球き働く力は中心力であることを示せ。
（2）考えている解のもとで、小球の軌道は次の方程式を満たすことを証明せよ。
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
（3)時刻tにおける運動量P=(px,py)を求めよ。
（4）時刻tにおける角運動量L=x・py-y・pxを求めよ。またその値がtに依存しないことを示せ。
（5）質点が図　x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 の（a,0)の付近を通る時と、（0,b)の付近を通る時と、どちらの方が速いか？根拠とともに説明せよ。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/26 20:54

ご自分でできないのはどこですか？

力学の基本中の基本かと思いますが。
途中まで取り組んだ上での質問であれば、どこが分からないのかをきちんと書いてください。

(1) 運動方程式の左辺が「力」であることを理解していますか？

(2) x, y が媒介変数 t （時間ですね）を使って与えられているので、ｔ を消去すれば「すべての t に対して成り立つ x と y の関係」つまり「軌跡」が得られます。
三角関数の
　sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
を使えば t が消去できますよ？

(3) 運動量は、質量と速度の積です。速度は「位置」の時間変化（時間での微分）です。

(4) (3)の結果を使って実際に求めてみればよいです。

(5) (a, 0), (0, b) を通る時間を求め、そのときの「速さ」を求めればよいです。a>b という条件で大小が判定できます。
ふつうに計算すればそうなるのに、何の「根拠」なのでしょうか。「ケプラーの法則」でも持ち出すのかな?