y=cos²x(-π/2 ≦ x ≦π/2)の増減表を解くとき y=f(x)=cos²x y`=-2

y=cos²x(-π/2 ≦ x ≦π/2)の増減表を解くとき
y=f(x)=cos²x
y`=-2sinxcosx

-π/2 ≦ x ≦π/2において、y`=0を代入したらxが出るのでしょうか？
増減表を完成させるには、どのような計算をすればいいですか？

加えて、最大、最小、極値の見分け方を教えて下さい。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/29 15:34

もひとつ忘れていましたね

最大最少は定義域内でグラフのy座標が最も大きい（高い)場所と,最も小さい（低い)ところです
また、極小は　部分的（局所的）に最少となるところ、極大は局所的に最大となるところだと思えば良いでしょう
で、具体的には増減表を完成させてf'(x)=0となる欄の近辺に着目します
f'(x)の欄が　マイナス~0~プラス　となっていれば　f'(x)=0になるxでグラフは極小となります
（なぜならば、f'(x)はグラフの接線の傾きを意味しますから　　f'(x)がマイナスである区間のグラフは右肩下がり（傾向）ということになり
f'(x)=0ではグラフは水平（グラフの接線が水平）
f'(x)がプラスである区間ではグラフは右肩上がり（傾向）　ということなので
f'(x)の欄が　マイナス~0~プラス　なら　グラフは右肩下がり~（一瞬）水平~右肩上がり　となりf'(x)=0部分で局所的最小：すなわち極小です）

反対に
f'(x)の欄が　プラス~0~マイナス　となっていれば　f'(x)=0になるxでグラフは極大となります

締めに　定義域にしたがってグラフの両端のy座標と　極大値を比べて　そのなかでもっとも高い（ｙ座標が大きい）ところがグラフの最大値です
同様にして　グラフの端点と極小となる部分を比べて　ｙが最も小さいところが最小値です

（ということは　例えば　最小と極小が一致するケースもありますし、最小と極小が不一致というケースもあるということです
最大と極大も同様）

この回答へのお礼

二度も丁寧に解説して頂き、ありがとうございました。
読み込ませて頂きます。

お礼日時：2020/07/30 02:58

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/29 13:54

-2sinxcosx=ーsin2xでｘ＝-π/2 、０、π/2で０

ｘ　　　　　　-π/2　　ーπ/4　　　　０　　　π/4　　　　π/2
ーsin2x　　　　０　↗　 1 ↘ 0 ↘ ‐1 ↗ 0
　　　　　　　　　　　　極大　　　変曲点　　極小

この回答へのお礼

簡潔に答えを教えて下さり、ありがとうございました。
助かりました。

お礼日時：2020/07/30 02:59

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/29 12:12

y'=f'(x)=0として　-2sinxcosx=0となるxを探せば良いです

sinx=0となるものはｘ＝０
cosx=0なるのは　x=-π/2 ,π/2 だから
この３つが　-2sinxcosx=0となるxだとわかります

ただし、増減表において定義域の両端(x＝±π/2)では増減表のf'(x)欄は空欄としておくのが普通です
（なぜ空欄にするのか？詳細は微分係数の定義を研究してみてください・・・）
ゆえに　与えられたｘの範囲の増減表を書くに当たっては、x=0のときのf'(x)の欄のみを0と記入することになります

ちなみに、三角関数の微分積分では　加法定理や半角公式倍角公式などなどを駆使して　より考えやすい形に変形してやることが必須です
今回はy'=-2sinxcosx=-sin2xと変形して
-sin2x=0(ｰπ≦2x≦π)となる　xを探してやるのも良さそうです（まあ、この程度なら-2sinxcosx=0となるxを探すのとあまり難易の差がありませんが、問題によっては三角関数の公式利用などで式変形すると圧倒的にわかりやすくなることも多いです）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2020/07/30 02:59